Calcolo Esempi

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x - 15}{x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 4 x - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Passaggio 1.2.2

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Passaggio 1.2.3

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Passaggio 1.2.4

Calcola il limite di $15$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Passaggio 1.2.5

Calcola il limite inserendo $3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Passaggio 1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3^{3} - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{27 - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Passaggio 1.2.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$\frac{27 - 12 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Passaggio 1.2.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$\frac{27 - 12 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $12$ da $27$ .

$\frac{15 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Passaggio 1.2.6.3

Sottrai $15$ da $15$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

Passaggio 1.3.2

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

Passaggio 1.3.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

Passaggio 1.3.4

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 18}$

Passaggio 1.3.5

Calcola il limite di $18$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

Passaggio 1.3.6

Calcola il limite inserendo $3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{0}{3^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

Passaggio 1.3.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{0}{3^{3} + 3^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

Passaggio 1.3.6.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{0}{3^{3} + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

Passaggio 1.3.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{0}{27 + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

Passaggio 1.3.7.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{27 + 9 - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

Passaggio 1.3.7.1.3

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$\frac{0}{27 + 9 - 18 - 1 \cdot 18}$

Passaggio 1.3.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $18$ .

$\frac{0}{27 + 9 - 18 - 18}$

Passaggio 1.3.7.2

Somma $27$ e $9$ .

$\frac{0}{36 - 18 - 18}$

Passaggio 1.3.7.3

Sottrai $18$ da $36$ .

$\frac{0}{18 - 18}$

Passaggio 1.3.7.4

Sottrai $18$ da $18$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.7.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.8

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x - 15}{x^{3} + x^{2} - 6 x - 18} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x - 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x - 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 4 x - 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Passaggio 3.5

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Passaggio 3.6

Somma $3 x^{2} - 4$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + x^{2} - 6 x - 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 3.10

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 3.10.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 3.10.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 3.11

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 + 0}$

Passaggio 3.12

Somma $3 x^{2} + 2 x - 6$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6}$

Passaggio 4

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Passaggio 6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Passaggio 7

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Passaggio 8

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Passaggio 9

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

Passaggio 10

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

Passaggio 11

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

Passaggio 12

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}$

Passaggio 13

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

Passaggio 14

Calcola il limite inserendo $3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

Passaggio 14.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

Passaggio 14.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Passaggio 15

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1.1

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Passaggio 15.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3^{1 + 2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Passaggio 15.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Passaggio 15.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{27 - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Passaggio 15.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{27 - 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Passaggio 15.1.4

Sottrai $4$ da $27$ .

$\frac{23}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Passaggio 15.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{23}{3^{1} \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Passaggio 15.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{23}{3^{1 + 2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Passaggio 15.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{23}{3^{3} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Passaggio 15.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{23}{27 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Passaggio 15.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{23}{27 + 6 - 1 \cdot 6}$

Passaggio 15.2.4

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{23}{27 + 6 - 6}$

Passaggio 15.2.5

Somma $27$ e $6$ .

$\frac{23}{33 - 6}$

Passaggio 15.2.6

Sottrai $6$ da $33$ .

$\frac{23}{27}$

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