Esempi

$y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Passaggio 1

Imposta $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ uguale a $0$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$x^{3} + 27 + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$x^{3} + 3^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Passaggio 2.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $9 x$ da $9 x^{2} + 27 x$ .

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Passaggio 2.1.5.1

Scomponi $9 x$ da $9 x^{2}$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 27 x = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Scomponi $9 x$ da $27 x$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 9 x (3) = 0$

Passaggio 2.1.5.3

Scomponi $9 x$ da $9 x (x) + 9 x (3)$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0$

Passaggio 2.1.6

Scomponi $x + 3$ da $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3)$ .

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Passaggio 2.1.6.1

Scomponi $x + 3$ da $9 x (x + 3)$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x) = 0$

Passaggio 2.1.6.2

Scomponi $x + 3$ da $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x)$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0$

Passaggio 2.1.7

Somma $- 3 x$ e $9 x$ .

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Passaggio 2.1.8

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1.8.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.8.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Passaggio 2.1.8.3

Riscrivi il polinomio.

$(x + 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.8.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 3$ .

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$ vera. La molteplicità di una radice è il numero di volte in cui la radice compare.

$x = - 3$ (Molteplicità di $3$ )

Passaggio 3

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