Algebra Esempi

(1, 1, 1)

$(1, 1, 1)$ ,

(0, 1, 1)

$(0, 1, 1)$ ,

(0, 0, 1)

$(0, 0, 1)$

Passaggio 1

Assegna un nome a ciascun vettore.

{u⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

{u⃗}_{2} = (0, 1, 1)

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

{u⃗}_{3} = (0, 0, 1)

${u⃗}_{3} = (0, 0, 1)$

Passaggio 2

Il primo vettore ortogonale è il primo vettore in un dato insieme di vettori.

{v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Passaggio 3

Usa la formula per trovare gli altri vettori ortogonali.

{v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - k - 1 \sum i = 1 {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Passaggio 4

Trova il vettore ortogonale

{v⃗}_{2}

${v⃗}_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Usa la formula per trovare

{v⃗}_{2}

${v⃗}_{2}$ .

{v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Passaggio 4.2

Sostituisci

(0, 1, 1)

$(0, 1, 1)$ a

{u⃗}_{2}

${u⃗}_{2}$ .

{v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Passaggio 4.3

Trova

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Trova il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1.1

Moltiplica

0

$0$ per

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.3.1.2.1.2

Moltiplica

1

$1$ per

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.3.1.2.1.3

Moltiplica

1

$1$ per

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Passaggio 4.3.1.2.2

Somma

0

$0$ e

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Passaggio 4.3.1.2.3

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Passaggio 4.3.2

Trova la norma di

{v⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Passaggio 4.3.2.2.4

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Passaggio 4.3.2.2.5

Somma

2

$2$ e

1

$1$ .

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Passaggio 4.3.3

Trova la proiezione di

{u⃗}_{2}

${u⃗}_{2}$ su

{v⃗}_{1}

${v⃗}_{1}$ utilizzando la formula della proiezione.

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Passaggio 4.3.4

Sostituisci

2

$2$ a

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Passaggio 4.3.5

Sostituisci

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ a

| | {v⃗}_{1} | |

$| | {v⃗}_{1} | |$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci

(1, 1, 1)

$(1, 1, 1)$ a

{v⃗}_{1}

${v⃗}_{1}$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 4.3.7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Riscrivi

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ come

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ come

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 4.3.7.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 4.3.7.1.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 4.3.7.1.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1.4.1

Elimina il fattore comune.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 4.3.7.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 4.3.7.1.5

Calcola l'esponente.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 4.3.7.2

Moltiplica

$\frac{2}{3}$ per ogni elemento della matrice.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.7.3

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.3.1

Moltiplica

$\frac{2}{3}$ per

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.7.3.2

Moltiplica

$\frac{2}{3}$ per

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.7.3.3

Moltiplica

$\frac{2}{3}$ per

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Passaggio 4.4

Sostituisci la proiezione.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Combina ciascun componente dei vettori.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Passaggio 4.5.2

Sottrai

$\frac{2}{3}$ da

$0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Passaggio 4.5.3

Scrivi

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Passaggio 4.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Passaggio 4.5.5

Sottrai

$2$ da

$3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Passaggio 4.5.6

Scrivi

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 4.5.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Passaggio 4.5.8

Sottrai

$2$ da

$3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5

Trova il vettore ortogonale

${v⃗}_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Usa la formula per trovare

${v⃗}_{3}$ .

${v⃗}_{3} = {u⃗}_{3} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Passaggio 5.2

Sostituisci

$(0, 0, 1)$ a

${u⃗}_{3}$ .

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Passaggio 5.3

Trova

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Trova il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1.1

Moltiplica

$0$ per

$1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.2.1.2

Moltiplica

$0$ per

$1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.2.1.3

Moltiplica

$1$ per

$1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1$

Passaggio 5.3.1.2.2

Somma

$0$ e

$0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1$

Passaggio 5.3.1.2.3

Somma

$0$ e

$1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 1$

Passaggio 5.3.2

Trova la norma di

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Passaggio 5.3.2.2.4

Somma

$1$ e

$1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Passaggio 5.3.2.2.5

Somma

$2$ e

$1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Passaggio 5.3.3

Trova la proiezione di

${u⃗}_{3}$ su

${v⃗}_{1}$ utilizzando la formula della proiezione.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Passaggio 5.3.4

Sostituisci

$1$ a

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Passaggio 5.3.5

Sostituisci

$\sqrt{3}$ a

$| | {v⃗}_{1} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Passaggio 5.3.6

Sostituisci

$(1, 1, 1)$ a

${v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 5.3.7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Riscrivi

${\sqrt{3}}^{2}$ come

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{3}$ come

$3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 5.3.7.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 5.3.7.1.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 5.3.7.1.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1.4.1

Elimina il fattore comune.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 5.3.7.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 5.3.7.1.5

Calcola l'esponente.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 5.3.7.2

Moltiplica

$\frac{1}{3}$ per ogni elemento della matrice.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Passaggio 5.3.7.3

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.3.1

Moltiplica

$\frac{1}{3}$ per

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Passaggio 5.3.7.3.2

Moltiplica

$\frac{1}{3}$ per

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Passaggio 5.3.7.3.3

Moltiplica

$\frac{1}{3}$ per

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4

Trova

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Trova il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (- \frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.2.1.1

Moltiplica

$0 (- \frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.2.1.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (\frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.1.2.1.1.2

Moltiplica

$0$ per

$\frac{2}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.1.2.1.2

Moltiplica

$0$ per

$\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + 1 (\frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.1.2.1.3

Moltiplica

$\frac{1}{3}$ per

$1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.4.1.2.2

Somma

$0$ e

$0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.4.1.2.3

Somma

$0$ e

$\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.4.2

Trova la norma di

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Usa la regola della potenza

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a

$- \frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a

$\frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.3

Moltiplica

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ per

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.4

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.5

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.6

Applica la regola del prodotto a

$\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.8

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.9

Applica la regola del prodotto a

$\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.4.2.2.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Passaggio 5.4.2.2.11

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Passaggio 5.4.2.2.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Passaggio 5.4.2.2.13

Somma

$4$ e

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Passaggio 5.4.2.2.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Passaggio 5.4.2.2.15

Somma

$5$ e

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{6}{9}}$

Passaggio 5.4.2.2.16

Elimina il fattore comune di

$6$ e

$9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.16.1

Scomponi

$3$ da

$6$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Passaggio 5.4.2.2.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.16.2.1

Scomponi

$3$ da

$9$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 5.4.2.2.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 5.4.2.2.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4.2.2.17

Riscrivi

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ come

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.4.2.2.18

Moltiplica

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ per

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.4.2.2.19

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.19.1

Moltiplica

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ per

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.4.2.2.19.2

Eleva

$\sqrt{3}$ alla potenza di

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.4.2.2.19.3

Eleva

$\sqrt{3}$ alla potenza di

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 5.4.2.2.19.4

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.4.2.2.19.5

Somma

$1$ e

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.19.6

Riscrivi

${\sqrt{3}}^{2}$ come

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.19.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{3}$ come

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.19.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.2.2.19.6.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.4.2.2.19.6.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.19.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.4.2.2.19.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 5.4.2.2.19.6.5

Calcola l'esponente.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.4.2.2.20

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.20.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Passaggio 5.4.2.2.20.2

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Passaggio 5.4.3

Trova la proiezione di

${u⃗}_{3}$ su

${v⃗}_{2}$ utilizzando la formula della proiezione.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Passaggio 5.4.4

Sostituisci

$\frac{1}{3}$ a

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Passaggio 5.4.5

Sostituisci

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ a

$| | {v⃗}_{2} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Passaggio 5.4.6

Sostituisci

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ a

${v⃗}_{2}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.1.1

Applica la regola del prodotto a

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.1.2

Riscrivi

${\sqrt{6}}^{2}$ come

$6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.1.2.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{6}$ come

$6^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.1.2.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{1}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.1.2.5

Calcola l'esponente.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.1.3

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.1.4

Elimina il fattore comune di

$6$ e

$9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.1.4.1

Scomponi

$3$ da

$6$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 (2)}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.1.4.2.1

Scomponi

$3$ da

$9$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.3

Elimina il fattore comune di

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.3.1

Elimina il fattore comune.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.3.2

Riscrivi l'espressione.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.4

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per ogni elemento della matrice.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} (- \frac{2}{3}), \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.5

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.5.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.5.1.1

Sposta il negativo all'inizio di

$- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.5.1.2

Scomponi

$2$ da

$- 2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.5.1.3

Elimina il fattore comune.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.5.1.4

Riscrivi l'espressione.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{- 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.5.3

Moltiplica

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.5.3.1

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per

$\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.5.3.2

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 5.4.7.5.4

Moltiplica

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.5.4.1

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per

$\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2 \cdot 3})$

Passaggio 5.4.7.5.4.2

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Passaggio 5.5

Sostituisci le proiezioni.

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Passaggio 5.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Combina ciascun componente dei vettori.

$(0 - (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}), 1 - (\frac{1}{3})) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Passaggio 5.6.2

Combina ciascun componente dei vettori.

$(0 - (\frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.3

Moltiplica

$- (- \frac{1}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.3.2

Moltiplica

$\frac{1}{3}$ per

$1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(\frac{- 1 + 1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.4.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.4.2.1

Somma

$- 1$ e

$1$ .

$(\frac{0}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.4.2.2

Dividi

$0$ per

$3$ .

$(0, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.5

Moltiplica

$- 1$ per

$\frac{1}{6}$ .

$(0, 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.6

Sottrai

$\frac{1}{3}$ da

$0$ .

$(0, - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.7

Per scrivere

$- \frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di

$6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.8.1

Moltiplica

$\frac{1}{3}$ per

$\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.8.2

Moltiplica

$3$ per

$2$ .

$(0, - \frac{2}{6} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.9.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(0, \frac{- 2 - 1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.9.2

Sottrai

$1$ da

$- 2$ .

$(0, \frac{- 3}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.10

Elimina il fattore comune di

$- 3$ e

$6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.10.1

Scomponi

$3$ da

$- 3$ .

$(0, \frac{3 (- 1)}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.10.2.1

Scomponi

$3$ da

$6$ .

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(0, \frac{- 1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(0, - \frac{1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.12

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.12.1

Scrivi

$1$ come una frazione con denominatore

$1$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.12.2

Moltiplica

$\frac{1}{1}$ per

$\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.12.3

Moltiplica

$\frac{1}{1}$ per

$\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.12.4

Moltiplica

$\frac{1}{3}$ per

$\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.12.5

Moltiplica

$\frac{1}{3}$ per

$\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.12.6

Riordina i fattori di

$3 \cdot 2$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.12.7

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{1}{6}))$

Passaggio 5.6.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6 - 2 - 1}{6})$

Passaggio 5.6.14

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.14.1

Sottrai

$2$ da

$6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{4 - 1}{6})$

Passaggio 5.6.14.2

Sottrai

$1$ da

$4$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3}{6})$

Passaggio 5.6.15

Elimina il fattore comune di

$3$ e

$6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.15.1

Scomponi

$3$ da

$3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 (1)}{6})$

Passaggio 5.6.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.15.2.1

Scomponi

$3$ da

$6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Passaggio 5.6.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Passaggio 5.6.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Passaggio 6

Trova la base ortonormale dividendo ciascun vettore ortogonale per la sua norma.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}, \frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}}$

Passaggio 7

Trova il vettore unitario

$\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ , dove

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Per trovare un vettore unitario nella stessa direzione di un vettore

$v⃗$ , dividi per la norma di

$v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Passaggio 7.2

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 7.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Passaggio 7.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Passaggio 7.3.4

Somma

$1$ e

$1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Passaggio 7.3.5

Somma

$2$ e

$1$ .

$\sqrt{3}$

Passaggio 7.4

Dividi il vettore per la sua norma.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Passaggio 7.5

Dividi ciascun elemento del vettore per

$\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Passaggio 8

Trova il vettore unitario

$\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ , dove

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Per trovare un vettore unitario nella stessa direzione di un vettore

$v⃗$ , dividi per la norma di

$v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Passaggio 8.2

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Usa la regola della potenza

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Applica la regola del prodotto a

$- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 8.3.1.2

Applica la regola del prodotto a

$\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 8.3.2

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ per

$1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 8.3.4

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 8.3.5

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 8.3.6

Applica la regola del prodotto a

$\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 8.3.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 8.3.8

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 8.3.9

Applica la regola del prodotto a

$\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 8.3.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Passaggio 8.3.11

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Passaggio 8.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Passaggio 8.3.13

Somma

$4$ e

$1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Passaggio 8.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Passaggio 8.3.15

Somma

$5$ e

$1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Passaggio 8.3.16

Elimina il fattore comune di

$6$ e

$9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.16.1

Scomponi

$3$ da

$6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Passaggio 8.3.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.16.2.1

Scomponi

$3$ da

$9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 8.3.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 8.3.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Passaggio 8.3.17

Riscrivi

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ come

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.4

Dividi il vettore per la sua norma.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Passaggio 8.5

Dividi ciascun elemento del vettore per

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Passaggio 8.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Passaggio 8.6.2

Moltiplica

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ per

$\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Passaggio 8.6.3

Sposta

$2$ alla sinistra di

$\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Passaggio 8.6.4

Sposta

$3$ alla sinistra di

$\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Passaggio 8.6.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Passaggio 8.6.6

Moltiplica

$\frac{1}{3}$ per

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Passaggio 8.6.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 8.6.8

Moltiplica

$\frac{1}{3}$ per

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Passaggio 9

Trova il vettore unitario

$\frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}$ , dove

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Per trovare un vettore unitario nella stessa direzione di un vettore

$v⃗$ , dividi per la norma di

$v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Passaggio 9.2

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$\sqrt{0^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$\sqrt{0 + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.3.2

Usa la regola della potenza

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Applica la regola del prodotto a

$- \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.3.2.2

Applica la regola del prodotto a

$\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$\sqrt{0 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per

$1$ .

$\sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.3.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.3.6

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.3.7

Applica la regola del prodotto a

$\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 9.3.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Passaggio 9.3.9

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Passaggio 9.3.10

Somma

$0$ e

$\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Passaggio 9.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Passaggio 9.3.12

Somma

$1$ e

$1$ .

$\sqrt{\frac{2}{4}}$

Passaggio 9.3.13

Elimina il fattore comune di

$2$ e

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.13.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Passaggio 9.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.13.2.1

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 9.3.14

Riscrivi

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ come

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.15

Qualsiasi radice di

$1$ è

$1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 9.4

Dividi il vettore per la sua norma.

$\frac{(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Passaggio 9.5

Dividi ciascun elemento del vettore per

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$(\frac{0}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Passaggio 9.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(0 \sqrt{2}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Passaggio 9.6.2

Moltiplica

$0$ per

$\sqrt{2}$ .

$(0, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Passaggio 9.6.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(0, - \frac{1}{2} \sqrt{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Passaggio 9.6.4

$\sqrt{2}$ e

$\frac{1}{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Passaggio 9.6.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{2})$

Passaggio 9.6.6

$\frac{1}{2}$ e

$\sqrt{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 10

Sostituisci i valori noti.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}), (0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})}$

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