Algebra Esempi

[\begin{array}{c} 3 & 2 & - 1 \\ 1 & 6 & 3 \\ 2 & - 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & - 1 \\ 1 & 6 & 3 \\ 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Passaggio 2

Usa il grafico dei segni e la matrice data per trovare il cofattore di ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il minore per l'elemento

a_{11}

$a_{11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Il minore per

a_{11}

$a_{11}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

1

$1$ eliminate.

| \begin{array}{c} 6 & 3 \\ - 4 & 0 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 6 & 3 \\ - 4 & 0 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 6 \cdot 0 - (- 4 \cdot 3)

$a_{11} = 6 \cdot 0 - (- 4 \cdot 3)$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Moltiplica

6

$6$ per

0

$0$ .

a_{11} = 0 - (- 4 \cdot 3)

$a_{11} = 0 - (- 4 \cdot 3)$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Moltiplica

- (- 4 \cdot 3)

$- (- 4 \cdot 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.2.1

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

3

$3$ .

a_{11} = 0 - - 12

$a_{11} = 0 - - 12$

Passaggio 2.1.2.2.1.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 12

$- 12$ .

a_{11} = 0 + 12

$a_{11} = 0 + 12$

a_{11} = 0 + 12

$a_{11} = 0 + 12$

a_{11} = 0 + 12

$a_{11} = 0 + 12$

Passaggio 2.1.2.2.2

Somma

0

$0$ e

12

$12$ .

a_{11} = 12

$a_{11} = 12$

a_{11} = 12

$a_{11} = 12$

a_{11} = 12

$a_{11} = 12$

a_{11} = 12

$a_{11} = 12$

Passaggio 2.2

Calcola il minore per l'elemento

a_{12}

$a_{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Il minore per

a_{12}

$a_{12}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

2

$2$ eliminate.

| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3

$a_{12} = 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Moltiplica

0

$0$ per

1

$1$ .

a_{12} = 0 - 2 \cdot 3

$a_{12} = 0 - 2 \cdot 3$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

3

$3$ .

a_{12} = 0 - 6

$a_{12} = 0 - 6$

a_{12} = 0 - 6

$a_{12} = 0 - 6$

Passaggio 2.2.2.2.2

Sottrai

6

$6$ da

0

$0$ .

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

Passaggio 2.3

Calcola il minore per l'elemento

a_{13}

$a_{13}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Il minore per

a_{13}

$a_{13}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

3

$3$ eliminate.

| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & - 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{13} = 1 \cdot - 4 - 2 \cdot 6

$a_{13} = 1 \cdot - 4 - 2 \cdot 6$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

1

$1$ .

a_{13} = - 4 - 2 \cdot 6

$a_{13} = - 4 - 2 \cdot 6$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

6

$6$ .

a_{13} = - 4 - 12

$a_{13} = - 4 - 12$

a_{13} = - 4 - 12

$a_{13} = - 4 - 12$

Passaggio 2.3.2.2.2

Sottrai

12

$12$ da

- 4

$- 4$ .

a_{13} = - 16

$a_{13} = - 16$

a_{13} = - 16

$a_{13} = - 16$

a_{13} = - 16

$a_{13} = - 16$

a_{13} = - 16

$a_{13} = - 16$

Passaggio 2.4

Calcola il minore per l'elemento

a_{21}

$a_{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Il minore per

a_{21}

$a_{21}$ è il determinante con riga

2

$2$ e colonna

1

$1$ eliminate.

| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 4 & 0 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 4 & 0 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{21} = 2 \cdot 0 - (- 4 \cdot - 1)

$a_{21} = 2 \cdot 0 - (- 4 \cdot - 1)$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Moltiplica

2

$2$ per

0

$0$ .

a_{21} = 0 - (- 4 \cdot - 1)

$a_{21} = 0 - (- 4 \cdot - 1)$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Moltiplica

- (- 4 \cdot - 1)

$- (- 4 \cdot - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.2.1

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

- 1

$- 1$ .

a_{21} = 0 - 1 \cdot 4

$a_{21} = 0 - 1 \cdot 4$

Passaggio 2.4.2.2.1.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

4

$4$ .

a_{21} = 0 - 4

$a_{21} = 0 - 4$

a_{21} = 0 - 4

$a_{21} = 0 - 4$

a_{21} = 0 - 4

$a_{21} = 0 - 4$

Passaggio 2.4.2.2.2

Sottrai

4

$4$ da

0

$0$ .

a_{21} = - 4

$a_{21} = - 4$

a_{21} = - 4

$a_{21} = - 4$

a_{21} = - 4

$a_{21} = - 4$

a_{21} = - 4

$a_{21} = - 4$

Passaggio 2.5

Calcola il minore per l'elemento

a_{22}

$a_{22}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Il minore per

a_{22}

$a_{22}$ è il determinante con riga

2

$2$ e colonna

2

$2$ eliminate.

| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Passaggio 2.5.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{22} = 3 \cdot 0 - 2 \cdot - 1

$a_{22} = 3 \cdot 0 - 2 \cdot - 1$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1.1

Moltiplica

3

$3$ per

0

$0$ .

a_{22} = 0 - 2 \cdot - 1

$a_{22} = 0 - 2 \cdot - 1$

Passaggio 2.5.2.2.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

- 1

$- 1$ .

a_{22} = 0 + 2

$a_{22} = 0 + 2$

a_{22} = 0 + 2

$a_{22} = 0 + 2$

Passaggio 2.5.2.2.2

Somma

0

$0$ e

2

$2$ .

a_{22} = 2

$a_{22} = 2$

a_{22} = 2

$a_{22} = 2$

a_{22} = 2

$a_{22} = 2$

a_{22} = 2

$a_{22} = 2$

Passaggio 2.6

Calcola il minore per l'elemento

a_{23}

$a_{23}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Il minore per

a_{23}

$a_{23}$ è il determinante con riga

2

$2$ e colonna

3

$3$ eliminate.

| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 2 & - 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.6.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{23} = 3 \cdot - 4 - 2 \cdot 2

$a_{23} = 3 \cdot - 4 - 2 \cdot 2$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Moltiplica

3

$3$ per

- 4

$- 4$ .

a_{23} = - 12 - 2 \cdot 2

$a_{23} = - 12 - 2 \cdot 2$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

2

$2$ .

a_{23} = - 12 - 4

$a_{23} = - 12 - 4$

a_{23} = - 12 - 4

$a_{23} = - 12 - 4$

Passaggio 2.6.2.2.2

Sottrai

4

$4$ da

- 12

$- 12$ .

a_{23} = - 16

$a_{23} = - 16$

a_{23} = - 16

$a_{23} = - 16$

a_{23} = - 16

$a_{23} = - 16$

a_{23} = - 16

$a_{23} = - 16$

Passaggio 2.7

Calcola il minore per l'elemento

a_{31}

$a_{31}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Il minore per

a_{31}

$a_{31}$ è il determinante con riga

3

$3$ e colonna

1

$1$ eliminate.

| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 6 & 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 6 & 3 \end{array} |$

Passaggio 2.7.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{31} = 2 \cdot 3 - 6 \cdot - 1

$a_{31} = 2 \cdot 3 - 6 \cdot - 1$

Passaggio 2.7.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1.1

Moltiplica

2

$2$ per

3

$3$ .

a_{31} = 6 - 6 \cdot - 1

$a_{31} = 6 - 6 \cdot - 1$

Passaggio 2.7.2.2.1.2

Moltiplica

- 6

$- 6$ per

- 1

$- 1$ .

a_{31} = 6 + 6

$a_{31} = 6 + 6$

a_{31} = 6 + 6

$a_{31} = 6 + 6$

Passaggio 2.7.2.2.2

Somma

6

$6$ e

6

$6$ .

a_{31} = 12

$a_{31} = 12$

a_{31} = 12

$a_{31} = 12$

a_{31} = 12

$a_{31} = 12$

a_{31} = 12

$a_{31} = 12$

Passaggio 2.8

Calcola il minore per l'elemento

a_{32}

$a_{32}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Il minore per

a_{32}

$a_{32}$ è il determinante con riga

3

$3$ e colonna

2

$2$ eliminate.

| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 2.8.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{32} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot - 1

$a_{32} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.8.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1.1

Moltiplica

3

$3$ per

3

$3$ .

a_{32} = 9 - 1 \cdot - 1

$a_{32} = 9 - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.8.2.2.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

a_{32} = 9 + 1

$a_{32} = 9 + 1$

a_{32} = 9 + 1

$a_{32} = 9 + 1$

Passaggio 2.8.2.2.2

Somma

9

$9$ e

1

$1$ .

a_{32} = 10

$a_{32} = 10$

a_{32} = 10

$a_{32} = 10$

a_{32} = 10

$a_{32} = 10$

a_{32} = 10

$a_{32} = 10$

Passaggio 2.9

Calcola il minore per l'elemento

a_{33}

$a_{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Il minore per

a_{33}

$a_{33}$ è il determinante con riga

3

$3$ e colonna

3

$3$ eliminate.

| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 6 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.9.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{33} = 3 \cdot 6 - 1 \cdot 2

$a_{33} = 3 \cdot 6 - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.9.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1.1

Moltiplica

3

$3$ per

6

$6$ .

a_{33} = 18 - 1 \cdot 2

$a_{33} = 18 - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.9.2.2.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

2

$2$ .

a_{33} = 18 - 2

$a_{33} = 18 - 2$

a_{33} = 18 - 2

$a_{33} = 18 - 2$

Passaggio 2.9.2.2.2

Sottrai

2

$2$ da

18

$18$ .

a_{33} = 16

$a_{33} = 16$

a_{33} = 16

$a_{33} = 16$

a_{33} = 16

$a_{33} = 16$

a_{33} = 16

$a_{33} = 16$

Passaggio 2.10

La matrice dei cofattori è una matrice dei minori con il segno cambiato per gli elementi nelle posizioni

-

$-$ sul grafico dei segni.

[\begin{array}{c} 12 & 6 & - 16 \\ 4 & 2 & 16 \\ 12 & - 10 & 16 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 12 & 6 & - 16 \\ 4 & 2 & 16 \\ 12 & - 10 & 16 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 12 & 6 & - 16 \\ 4 & 2 & 16 \\ 12 & - 10 & 16 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 12 & 6 & - 16 \\ 4 & 2 & 16 \\ 12 & - 10 & 16 \end{array}]$

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