Algebra Esempi

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 & 6 & - 1 & 1 & - 7 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 1 & 1 & - 7 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 \end{array}]$

Passaggio 1

Scrivi come una matrice aumentata per

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 & 6 & - 1 & 1 & - 7 & 0 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 1 & 1 & - 7 & 0 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot - 7 & - \frac{1}{3} \cdot 0 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot - 7 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 1 - 1 & - 2 + 2 & 2 - \frac{1}{3} & 3 + \frac{1}{3} & - 1 - \frac{7}{3} & 0 - 0 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 1 - 1 & - 2 + 2 & 2 - \frac{1}{3} & 3 + \frac{1}{3} & - 1 - \frac{7}{3} & 0 - 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 2 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 \cdot - 2 & 5 - 2 (\frac{1}{3}) & 8 - 2 (- \frac{1}{3}) & - 4 - 2 (\frac{7}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 \cdot - 2 & 5 - 2 (\frac{1}{3}) & 8 - 2 (- \frac{1}{3}) & - 4 - 2 (\frac{7}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni elemento di

R_{2}

$R_{2}$ per

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ per rendere il dato in

2, 3

$2, 3$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{2}

$R_{2}$ per

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ per rendere il dato in

2, 3

$2, 3$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} & \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} & \frac{3}{5} (- \frac{10}{3}) & \frac{3}{5} \cdot 0 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} & \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} & \frac{3}{5} (- \frac{10}{3}) & \frac{3}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.5

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - \frac{13}{3} R_{2}

$R_{3} = R_{3} - \frac{13}{3} R_{2}$ per rendere il dato in

3, 3

$3, 3$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - \frac{13}{3} R_{2}

$R_{3} = R_{3} - \frac{13}{3} R_{2}$ per rendere il dato in

3, 3

$3, 3$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 & 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 & \frac{13}{3} - \frac{13}{3} \cdot 1 & \frac{26}{3} - \frac{13}{3} \cdot 2 & - \frac{26}{3} - \frac{13}{3} \cdot - 2 & 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 & 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 & \frac{13}{3} - \frac{13}{3} \cdot 1 & \frac{26}{3} - \frac{13}{3} \cdot 2 & - \frac{26}{3} - \frac{13}{3} \cdot - 2 & 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Esegui l'operazione in riga

R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ per rendere il dato in

1, 3

$1, 3$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Esegui l'operazione in riga

R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ per rendere il dato in

1, 3

$1, 3$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & - 2 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2 & \frac{7}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 2 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & - 2 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2 & \frac{7}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 2 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & - 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x_{1} - 2 x_{2} - x_{4} + 3 x_{5} = 0$

$x_{3} + 2 x_{4} - 2 x_{5} = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 x_{2} + x_{4} - 3 x_{5} \\ x_{2} \\ - 2 x_{4} + 2 x_{5} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}]$

Passaggio 5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{5} [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 6

Scrivi come insieme di soluzioni.

${x_{2} [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{5} [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{2}, x_{4}, x_{5} \in R}$

Passaggio 7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 8

Verifica se i vettori sono linearmente indipendenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Elenca i vettori.

$[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 8.2

Scrivi i vettori come una matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & - 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 8.3

Per determinare se le colonne nella matrice sono linearmente indipendenti, determina se l'equazione

$A x = 0$ ha soluzioni non banali.

Passaggio 8.4

Scrivi come una matrice aumentata per

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{1}$ per

$\frac{1}{2}$ per rendere il dato in

$1, 1$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{1}$ per

$\frac{1}{2}$ per rendere il dato in

$1, 1$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{- 3}{2} & \frac{0}{2} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.1.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.2

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in

$2, 1$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in

$2, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 1 - 1 & 0 - \frac{1}{2} & 0 + \frac{3}{2} & 0 - 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.2.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.3

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$- 2$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$- 2$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 (- \frac{1}{2}) & - 2 (\frac{3}{2}) & - 2 \cdot 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.3.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.4

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ per rendere il dato in

$3, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.4.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ per rendere il dato in

$3, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 2 + 2 \cdot - 3 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.4.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.5

Esegui l'operazione in riga

$R_{4} = R_{4} - R_{2}$ per rendere il dato in

$4, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.5.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{4} = R_{4} - R_{2}$ per rendere il dato in

$4, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 + 3 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.5.2

Semplifica

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.6

Moltiplica ogni elemento di

$R_{3}$ per

$- \frac{1}{4}$ per rendere il dato in

$3, 3$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.6.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{3}$ per

$- \frac{1}{4}$ per rendere il dato in

$3, 3$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.6.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.7

Esegui l'operazione in riga

$R_{4} = R_{4} - 3 R_{3}$ per rendere il dato in

$4, 3$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.7.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{4} = R_{4} - 3 R_{3}$ per rendere il dato in

$4, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.7.2

Semplifica

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.8

Esegui l'operazione in riga

$R_{5} = R_{5} - R_{3}$ per rendere il dato in

$5, 3$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.8.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{5} = R_{5} - R_{3}$ per rendere il dato in

$5, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.8.2

Semplifica

$R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.9

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ per rendere il dato in

$2, 3$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.9.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ per rendere il dato in

$2, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.9.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.10

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ per rendere il dato in

$1, 3$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.10.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ per rendere il dato in

$1, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.10.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.11

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.11.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.5.11.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.6

Rimuovi le righe che contengono tutti zeri.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 8.7

Scrivi la matrice come sistema di equazioni lineari.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Passaggio 8.8

Poiché l'unica soluzione di

$A x = 0$ è la soluzione banale, i vettori sono linearmente indipendenti.

Linearmente indipendente

Passaggio 9

Poiché i vettori sono linearmente indipendenti, formano una base per lo spazio nullo della matrice.

Base di

$Nul (A)$ :

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Dimensione di

$Nul (A)$ :

$3$

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