Algebra Esempi

y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$

Passaggio 1

Imposta

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ uguale a

0

$0$ .

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , dove

p

$p$ è un fattore della costante e

q

$q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci

2

$2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a

0

$0$ quindi

2

$2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci

2

$2$ nel polinomio.

2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Passaggio 2.1.1.3.2

Eleva

2

$2$ alla potenza di

3

$3$ .

8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Passaggio 2.1.1.3.3

Eleva

2

$2$ alla potenza di

2

$2$ .

8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30$

Passaggio 2.1.1.3.4

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

4

$4$ .

8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30$

Passaggio 2.1.1.3.5

Sottrai

16

$16$ da

8

$8$ .

- 8 - 11 \cdot 2 + 30

$- 8 - 11 \cdot 2 + 30$

Passaggio 2.1.1.3.6

Moltiplica

- 11

$- 11$ per

2

$2$ .

- 8 - 22 + 30

$- 8 - 22 + 30$

Passaggio 2.1.1.3.7

Sottrai

22

$22$ da

- 8

$- 8$ .

- 30 + 30

$- 30 + 30$

Passaggio 2.1.1.3.8

Somma

- 30

$- 30$ e

30

$30$ .

0

$0$

0

$0$

Passaggio 2.1.1.4

Poiché

2

$2$ è una radice nota, dividi il polinomio per

x - 2

$x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}$

Passaggio 2.1.1.5

Dividi

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ per

x - 2

$x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di

0

$0$ .

x

$x$

2

$2$

x^{3}

$x^{3}$

4 x^{2}

$4 x^{2}$

11 x

$11 x$

30

$30$

Passaggio 2.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

x^{3}

$x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$

Passaggio 2.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

x^{3} - 2 x^{2}

$x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$

Passaggio 2.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

- 2 x^{2}

$- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$

Passaggio 2.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$

Passaggio 2.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

- 2 x^{2} + 4 x

$- 2 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$

Passaggio 2.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$

Passaggio 2.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

Passaggio 2.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

- 15 x

$- 15 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

Passaggio 2.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

Passaggio 2.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

- 15 x + 30

$- 15 x + 30$

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$
							+	$15 x$ $15 x$	-	$30$ $30$

Passaggio 2.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$
							+	$15 x$ $15 x$	-	$30$ $30$
										$0$ $0$

Passaggio 2.1.1.5.16

Poiché il resto è

0

$0$ , la risposta finale è il quoziente.

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$

Passaggio 2.1.1.6

Scrivi

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ come insieme di fattori.

(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0

$(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0

$(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Considera la forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è

c

$c$ e la cui formula è

b

$b$ . In questo caso, il cui prodotto è

- 15

$- 15$ e la cui somma è

- 2

$- 2$ .

- 5, 3

$- 5, 3$

Passaggio 2.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0

$(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0

$(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

x - 5 = 0

$x - 5 = 0$

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta

x - 2

$x - 2$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta

x - 2

$x - 2$ uguale a

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma

2

$2$ a entrambi i lati dell'equazione.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Passaggio 2.4

Imposta

x - 5

$x - 5$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta

x - 5

$x - 5$ uguale a

0

$0$ .

x - 5 = 0

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma

5

$5$ a entrambi i lati dell'equazione.

x = 5

$x = 5$

x = 5

$x = 5$

Passaggio 2.5

Imposta

x + 3

$x + 3$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta

x + 3

$x + 3$ uguale a

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai

3

$3$ da entrambi i lati dell'equazione.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$ vera. La molteplicità di una radice è il numero di volte in cui la radice compare.

x = 2

$x = 2$ (Molteplicità di

1

$1$ )

x = 5

$x = 5$ (Molteplicità di

1

$1$ )

x = - 3

$x = - 3$ (Molteplicità di

1

$1$ )

x = 2

$x = 2$ (Molteplicità di

1

$1$ )

x = 5

$x = 5$ (Molteplicità di

1

$1$ )

x = - 3

$x = - 3$ (Molteplicità di

1

$1$ )

Passaggio 3

Inserisci il TUO problema