Algebra Esempi

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $3$ è la matrice quadrata $3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $I_{3}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 + 0 & 6 + 0 \\ 8 + 0 & 10 - λ & 12 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 + 0 \\ 8 + 0 & 10 - λ & 12 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $6$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 8 + 0 & 10 - λ & 12 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.3

Somma $8$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 8 & 10 - λ & 12 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.4

Somma $12$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 8 & 10 - λ & 12 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 8 & 10 - λ & 12 \\ 1 & 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.6

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 8 & 10 - λ & 12 \\ 1 & 2 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.7

Sottrai $λ$ da $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 8 & 10 - λ & 12 \\ 1 & 2 & - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 - λ & 12 \\ 2 & - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 10 - λ & 12 \\ 2 & - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 10 - λ & 12 \\ 2 & - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2

Calcola $| \begin{array}{c} 10 - λ & 12 \\ 2 & - λ \end{array} |$ .

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Passaggio 1.5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((10 - λ) (- λ) - 2 \cdot 12) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (2 - λ) (10 (- λ) - λ (- λ) - 2 \cdot 12) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 12) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 12) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.4.1

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.5.2.2.1.4.1.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 12) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.4.1.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 12) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 12) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.4.3

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 λ + λ^{2} - 2 \cdot 12) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $12$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 λ + λ^{2} - 24) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.2

Riordina $- 10 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3

Calcola $| \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (8 (- λ) - 1 \cdot 12) + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 1 \cdot 12) + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (8 \cdot 2 - (10 - λ))$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (16 - (10 - λ))$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (16 - 1 \cdot 10 - - λ)$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (16 - 10 - - λ)$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- - λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (16 - 10 + 1 λ)$

Passaggio 1.5.4.2.1.4.2

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (16 - 10 + λ)$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $10$ da $16$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (6 + λ)$

Passaggio 1.5.4.2.3

Riordina $6$ e $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.1

Espandi $(2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- 10 λ) + 2 \cdot - 24 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.2.1

Moltiplica $- 10$ per $2$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ + 2 \cdot - 24 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 24$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.2.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.2.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.2.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.2.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.2.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.2.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.2.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.2.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.2.7

Moltiplica $- 24$ per $- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ^{3} + 10 λ^{2} + 24 λ - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.3

Somma $2 λ^{2}$ e $10 λ^{2}$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ^{3} + 24 λ - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.4

Somma $- 20 λ$ e $24 λ$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 4 λ - 48 - λ^{3} - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 12 λ^{2} + 4 λ - 48 - λ^{3} - 4 (- 8 λ) - 4 \cdot - 12 + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.6

Moltiplica $- 8$ per $- 4$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 4 λ - 48 - λ^{3} + 32 λ - 4 \cdot - 12 + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.7

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 4 λ - 48 - λ^{3} + 32 λ + 48 + 6 (λ + 6)$

Passaggio 1.5.5.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 12 λ^{2} + 4 λ - 48 - λ^{3} + 32 λ + 48 + 6 λ + 6 \cdot 6$

Passaggio 1.5.5.1.9

Moltiplica $6$ per $6$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 4 λ - 48 - λ^{3} + 32 λ + 48 + 6 λ + 36$

Passaggio 1.5.5.2

Combina i termini opposti in $12 λ^{2} + 4 λ - 48 - λ^{3} + 32 λ + 48 + 6 λ + 36$ .

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Passaggio 1.5.5.2.1

Somma $- 48$ e $48$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 4 λ - λ^{3} + 32 λ + 0 + 6 λ + 36$

Passaggio 1.5.5.2.2

Somma $12 λ^{2} + 4 λ - λ^{3} + 32 λ$ e $0$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 4 λ - λ^{3} + 32 λ + 6 λ + 36$

Passaggio 1.5.5.3

Somma $4 λ$ e $32 λ$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} - λ^{3} + 36 λ + 6 λ + 36$

Passaggio 1.5.5.4

Somma $36 λ$ e $6 λ$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} - λ^{3} + 42 λ + 36$

Passaggio 1.5.5.5

Riordina $12 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 12 λ^{2} + 42 λ + 36$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$- λ^{3} + 12 λ^{2} + 42 λ + 36 = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

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Passaggio 1.7.1

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$λ \approx 14.96690066$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 14.96690066$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] - 14.96690066 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $- 14.96690066$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 14.96690066 \cdot 1 & - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 0 \\ - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 1 & - 14.96690066 \cdot 0 \\ - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $- 14.96690066$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 14.96690066 & - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 0 \\ - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 1 & - 14.96690066 \cdot 0 \\ - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2