Algebra Esempi

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione

2

$2$ è la matrice quadrata

2 \times 2

$2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci

A

$A$ per

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci

I_{2}

$I_{2}$ per

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica

- λ

$- λ$ per ogni elemento della matrice.

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 4 - λ & 2 + 0 3 + 0 & 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma

2

$2$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 + 0 & 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma

3

$3$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 & 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 & 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 & 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (4 - λ) (1 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = (4 - λ) (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Espandi

(4 - λ) (1 - λ)

$(4 - λ) (1 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

p (λ) = 4 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1.1

Moltiplica

4

$4$ per

1

$1$ .

p (λ) = 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

4

$4$ .

p (λ) = 4 - 4 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = 4 - 4 λ - λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5

Moltiplica

λ

$λ$ per

λ

$λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.1

Sposta

λ

$λ$ .

p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica

λ

$λ$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.6

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 4 - 4 λ - λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.7

Moltiplica

λ^{2}

$λ^{2}$ per

1

$1$ .

p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2.2

Sottrai

λ

$λ$ da

- 4 λ

$- 4 λ$ .

p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.3

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

2

$2$ .

p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

Passaggio 1.5.2.2

Sottrai

6

$6$ da

4

$4$ .

p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

Passaggio 1.5.2.3

Riordina

- 5 λ

$- 5 λ$ e

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a

0

$0$ per trovare gli autovalori

λ

$λ$ .

λ^{2} - 5 λ - 2 = 0

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per

λ

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci i valori

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 5

$b = - 5$ e

c = - 2

$c = - 2$ nella formula quadratica e risolvi per

λ

$λ$ .

\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.1

Eleva

- 5

$- 5$ alla potenza di

2

$2$ .

λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.2

Moltiplica

- 4 \cdot 1 \cdot - 2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.2.1

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

1

$1$ .

λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.2.2

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

- 2

$- 2$ .

λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.3

Somma

25

$25$ e

8

$8$ .

λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.2

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Passaggio 1.7.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

N

$N$ is the null space and

I

$I$ is the identity matrix.

ε_{A} = N (A - λ I_{2})

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

N ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica

- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ per ogni elemento della matrice.

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica

- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.2.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2.2

Moltiplica

0

$0$ per

\frac{5 + \sqrt{33}}{2}

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3

Moltiplica

- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.3.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3.2

Moltiplica

0

$0$ per

\frac{5 + \sqrt{33}}{2}

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per scrivere

4

$4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.2

4

$4$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.4.1

Moltiplica

4

$4$ per

2

$2$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

5

$5$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4.4

Sottrai

5

$5$ da

8

$8$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.5

Somma

2

$2$ e

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.6

Somma

3

$3$ e

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 3 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.7

Scrivi

1

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.9.1

Applica la proprietà distributiva.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.9.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

5

$5$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.9.3

Sottrai

5

$5$ da

2

$2$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.10

Riscrivi

- 3

$- 3$ come

- 1 (3)

$- 1 (3)$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.11

Scomponi

- 1

$- 1$ da

- \sqrt{33}

$- \sqrt{33}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.12

Scomponi

- 1

$- 1$ da

- 1 (3) - (\sqrt{33})

$- 1 (3) - (\sqrt{33})$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{2}{3 - \sqrt{33}}

$\frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{2}{3 - \sqrt{33}}

$\frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 3 - 3 \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 (- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 (- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

x - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0

$x - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

[\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{y}{2} + \frac{y \sqrt{33}}{6} y \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} + \frac{y \sqrt{33}}{6} \\ y \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

[\begin{matrix} x y \end{matrix}] = y [\begin{matrix} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Write as a solution set.

{y [\begin{matrix} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} 1 \end{matrix}] ∣ ∣ ∣ ∣ y \in R}

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

{[\begin{matrix} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} 1 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{matrix} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} 1 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{matrix} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} 1 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

N ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica

- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ per ogni elemento della matrice.

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica

- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.2.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2.2

Moltiplica

0

$0$ per

\frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3

Moltiplica

- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.3.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3.2

Moltiplica

0

$0$ per

\frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Per scrivere

4

$4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

4

$4$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.1

Moltiplica

4

$4$ per

2

$2$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

5

$5$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4.4

Moltiplica

- - \sqrt{33}

$- - \sqrt{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.4.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4.4.2

Moltiplica

\sqrt{33}

$\sqrt{33}$ per

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4.5

Sottrai

5

$5$ da

8

$8$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.5

Somma

2

$2$ e

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.6

Somma

3

$3$ e

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.7

Scrivi

1

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.9.1

Applica la proprietà distributiva.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

5

$5$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9.3

Moltiplica

- - \sqrt{33}

$- - \sqrt{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.9.3.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9.3.2

Moltiplica

\sqrt{33}

$\sqrt{33}$ per

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9.4

Sottrai

5

$5$ da

2

$2$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.10

Riscrivi

- 3

$- 3$ come

- 1 (3)

$- 1 (3)$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.11

Scomponi

- 1

$- 1$ da

\sqrt{33}

$\sqrt{33}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.12

Scomponi

- 1

$- 1$ da

- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})

$- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 & \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.3

Find the null space when

λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Write as an augmented matrix for

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{2}{3 + \sqrt{33}}

$\frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{2}{3 + \sqrt{33}}

$\frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} - 3 (- \frac{3 - \sqrt{33}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} - \frac{y \sqrt{33}}{6} \\ y \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Inserisci il TUO problema