Algebra Esempi

B = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$B = [\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{3})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione

3

$3$ è la matrice quadrata

3 \times 3

$3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in

p (λ) = determinante (A - λ I_{3})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$ a

A

$A$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ I_{3} ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 3.2

Sostituisci

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ a

I_{3}

$I_{3}$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica

- λ

$- λ$ per ogni elemento della matrice.

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 & - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 & - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 & - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 + 0 & 3 + 0 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 + 0 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma

4

$4$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 & 3 + 0 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma

3

$3$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 & 3 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Somma

1

$1$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 & 3 1 & 1 - λ & 2 + 0 - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.4

Somma

2

$2$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 & 3 1 & 1 - λ & 2 - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Somma

- 1

$- 1$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 & 3 1 & 1 - λ & 2 - 1 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Somma

0

$0$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 & 3 1 & 1 - λ & 2 - 1 & 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 & 3 1 & 1 - λ & 2 - 1 & 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 & 3 1 & 1 - λ & 2 - 1 & 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

0

$0$ . Se non ci sono elementi

0

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella colonna

2

$2$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

-

$-$ .

Passaggio 5.1.3

Il minore per

a_{12}

$a_{12}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

2

$2$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica l'elemento

a_{12}

$a_{12}$ per il suo cofattore.

- 4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

Il minore per

a_{22}

$a_{22}$ è il determinante con riga

2

$2$ e colonna

2

$2$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Moltiplica l'elemento

a_{22}

$a_{22}$ per il suo cofattore.

(1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

Il minore per

a_{32}

$a_{32}$ è il determinante con riga

3

$3$ e colonna

2

$2$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Moltiplica l'elemento

a_{32}

$a_{32}$ per il suo cofattore.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

Somma i termini.

p (λ) = - 4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

p (λ) = - 4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

Passaggio 5.2

Moltiplica

0

$0$ per

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

p (λ) = - 4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.3

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = - 4 (1 (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (1 (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Moltiplica

- 1 - λ

$- 1 - λ$ per

1

$1$ .

p (λ) = - 4 (- 1 - λ - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.3.2.1.2

Moltiplica

- (- 1 \cdot 2)

$- (- 1 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

2

$2$ .

p (λ) = - 4 (- 1 - λ - - 2) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - - 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 2

$- 2$ .

p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.3.2.2

Somma

- 1

$- 1$ e

2

$2$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.4

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Espandi

(- 1 - λ) (- 1 - λ)

$(- 1 - λ) (- 1 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.2.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.2

Moltiplica

$- 1 (- λ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.2.1.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 1 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.2.2

Moltiplica

$λ$ per

$1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.3

Moltiplica

$- λ \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.2.1.3.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + 1 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.3.2

Moltiplica

$λ$ per

$1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.5

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.2.1.5.1

Sposta

$λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.5.2

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.6

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.7

Moltiplica

$λ^{2}$ per

$1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.2

Somma

$λ$ e

$λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.3

Moltiplica

$- (- 1 \cdot 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.3.1

Moltiplica

$- 1$ per

$3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - - 3) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.3.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} + 3) + 0$

Passaggio 5.4.2.2

Somma

$1$ e

$3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (2 λ + λ^{2} + 4) + 0$

Passaggio 5.4.2.3

Riordina

$2 λ$ e

$λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 0$

Passaggio 5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Somma

$- 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ e

$0$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Passaggio 5.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = - 4 (- λ) - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Passaggio 5.5.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 4$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Passaggio 5.5.2.3

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Passaggio 5.5.2.4

Espandi

$(1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 4 λ - 4 + 1 λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Passaggio 5.5.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.1

Moltiplica

$λ^{2}$ per

$1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Passaggio 5.5.2.5.2

Moltiplica

$2 λ$ per

$1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Passaggio 5.5.2.5.3

Moltiplica

$4$ per

$1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Passaggio 5.5.2.5.4

Moltiplica

$λ$ per

$λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.4.1

Sposta

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Passaggio 5.5.2.5.4.2

Moltiplica

$λ^{2}$ per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.4.2.1

Eleva

$λ$ alla potenza di

$1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Passaggio 5.5.2.5.4.2.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Passaggio 5.5.2.5.4.3

Somma

$2$ e

$1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Passaggio 5.5.2.5.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - λ \cdot 4$

Passaggio 5.5.2.5.6

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.6.1

Sposta

$λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4$

Passaggio 5.5.2.5.6.2

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

Passaggio 5.5.2.5.7

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

Passaggio 5.5.2.5.8

Moltiplica

$4$ per

$- 1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - 4 λ$

Passaggio 5.5.2.6

Sottrai

$2 λ^{2}$ da

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 4 λ$

Passaggio 5.5.2.7

Sottrai

$4 λ$ da

$2 λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$

Passaggio 5.5.3

Combina i termini opposti in

$4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Somma

$- 4$ e

$4$ .

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ + 0 - λ^{3}$

Passaggio 5.5.3.2

Somma

$4 λ - λ^{2} - 2 λ$ e

$0$ .

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ - λ^{3}$

Passaggio 5.5.4

Sottrai

$2 λ$ da

$4 λ$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 2 λ - λ^{3}$

Passaggio 5.5.5

Sposta

$2 λ$ .

$p (λ) = - λ^{2} - λ^{3} + 2 λ$

Passaggio 5.5.6

Riordina

$- λ^{2}$ e

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a

$0$ per trovare gli autovalori

$λ$ .

$- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ = 0$

Passaggio 7

Risolvi per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi

$- λ$ da

$- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Scomponi

$- λ$ da

$- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ^{2} + 2 λ = 0$

Passaggio 7.1.1.2

Scomponi

$- λ$ da

$- λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ + 2 λ = 0$

Passaggio 7.1.1.3

Scomponi

$- λ$ da

$2 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ - λ \cdot - 2 = 0$

Passaggio 7.1.1.4

Scomponi

$- λ$ da

$- λ (λ^{2}) - λ (λ)$ .

$- λ (λ^{2} + λ) - λ \cdot - 2 = 0$

Passaggio 7.1.1.5

Scomponi

$- λ$ da

$- λ (λ^{2} + λ) - λ (- 2)$ .

$- λ (λ^{2} + λ - 2) = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi

$λ^{2} + λ - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Considera la forma

$x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è

$c$ e la cui formula è

$b$ . In questo caso, il cui prodotto è

$- 2$ e la cui somma è

$1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 7.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- λ ((λ - 1) (λ + 2)) = 0$

Passaggio 7.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$λ = 0$

$λ - 1 = 0$

$λ + 2 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta

$λ$ uguale a

$0$ .

$λ = 0$

Passaggio 7.4

Imposta

$λ - 1$ uguale a

$0$ e risolvi per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Imposta

$λ - 1$ uguale a

$0$ .

$λ - 1 = 0$

Passaggio 7.4.2

Somma

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 1$

Passaggio 7.5

Imposta

$λ + 2$ uguale a

$0$ e risolvi per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Imposta

$λ + 2$ uguale a

$0$ .

$λ + 2 = 0$

Passaggio 7.5.2

Sottrai

$2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$λ = - 2$

Passaggio 7.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$ vera.

$λ = 0, 1, - 2$

Inserisci il TUO problema