Algebra Esempi

(- 1, - 2)

$(- 1, - 2)$ ,

(2, - 2)

$(2, - 2)$ ,

(4, - 2)

$(4, - 2)$

Passaggio 1

Ci sono due equazioni generali per un'ellissi.

Equazione dell'ellissi orizzontale

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equazione dell'ellissi verticale

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 2

a

$a$ è la distanza tra il vertice

(4, - 2)

$(4, - 2)$ e il punto di centro

(- 1, - 2)

$(- 1, - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

a = \sqrt{{(4 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}

$a = \sqrt{{(4 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

a = \sqrt{{(4 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}

$a = \sqrt{{(4 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Somma

4

$4$ e

1

$1$ .

a = \sqrt{5^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}

$a = \sqrt{5^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Eleva

5

$5$ alla potenza di

2

$2$ .

a = \sqrt{25 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}

$a = \sqrt{25 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 2

$- 2$ .

a = \sqrt{25 + {(- 2 + 2)}^{2}}

$a = \sqrt{25 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Somma

- 2

$- 2$ e

2

$2$ .

a = \sqrt{25 + 0^{2}}

$a = \sqrt{25 + 0^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

a = \sqrt{25 + 0}

$a = \sqrt{25 + 0}$

Passaggio 2.3.7

Somma

25

$25$ e

0

$0$ .

a = \sqrt{25}

$a = \sqrt{25}$

Passaggio 2.3.8

Riscrivi

25

$25$ come

5^{2}

$5^{2}$ .

a = \sqrt{5^{2}}

$a = \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 2.3.9

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

a = 5

$a = 5$

a = 5

$a = 5$

a = 5

$a = 5$

Passaggio 3

c

$c$ è la distanza tra il fuoco

(2, - 2)

$(2, - 2)$ e il centro

(- 1, - 2)

$(- 1, - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

c = \sqrt{{(2 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}

$c = \sqrt{{(2 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

c = \sqrt{{(2 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}

$c = \sqrt{{(2 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Somma

2

$2$ e

1

$1$ .

c = \sqrt{3^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}

$c = \sqrt{3^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Eleva

3

$3$ alla potenza di

2

$2$ .

c = \sqrt{9 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}

$c = \sqrt{9 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 2

$- 2$ .

c = \sqrt{9 + {(- 2 + 2)}^{2}}

$c = \sqrt{9 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Somma

- 2

$- 2$ e

2

$2$ .

c = \sqrt{9 + 0^{2}}

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Passaggio 3.3.6

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

c = \sqrt{9 + 0}

$c = \sqrt{9 + 0}$

Passaggio 3.3.7

Somma

9

$9$ e

0

$0$ .

c = \sqrt{9}

$c = \sqrt{9}$

Passaggio 3.3.8

Riscrivi

9

$9$ come

3^{2}

$3^{2}$ .

c = \sqrt{3^{2}}

$c = \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 3.3.9

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

Passaggio 4

Usare l'equazione

c^{2} = a^{2} - b^{2}

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Sostituisci

5

$5$ a

a

$a$ e

3

$3$ a

c

$c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come

{(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}

${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

{(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}

${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Passaggio 4.2

Eleva

5

$5$ alla potenza di

2

$2$ .

25 - b^{2} = 3^{2}

$25 - b^{2} = 3^{2}$

Passaggio 4.3

Eleva

3

$3$ alla potenza di

2

$2$ .

25 - b^{2} = 9

$25 - b^{2} = 9$

Passaggio 4.4

Sposta tutti i termini non contenenti

b

$b$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sottrai

25

$25$ da entrambi i lati dell'equazione.

- b^{2} = 9 - 25

$- b^{2} = 9 - 25$

Passaggio 4.4.2

Sottrai

25

$25$ da

9

$9$ .

- b^{2} = - 16

$- b^{2} = - 16$

- b^{2} = - 16

$- b^{2} = - 16$

Passaggio 4.5

Dividi per

- 1

$- 1$ ciascun termine in

- b^{2} = - 16

$- b^{2} = - 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Dividi per

- 1

$- 1$ ciascun termine in

- b^{2} = - 16

$- b^{2} = - 16$ .

\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Dividi

b^{2}

$b^{2}$ per

1

$1$ .

b^{2} = \frac{- 16}{- 1}

$b^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

b^{2} = \frac{- 16}{- 1}

$b^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Dividi

- 16

$- 16$ per

- 1

$- 1$ .

b^{2} = 16

$b^{2} = 16$

b^{2} = 16

$b^{2} = 16$

b^{2} = 16

$b^{2} = 16$

Passaggio 4.6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

b = \pm \sqrt{16}

$b = \pm \sqrt{16}$

Passaggio 4.7

Semplifica

\pm \sqrt{16}

$\pm \sqrt{16}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Riscrivi

16

$16$ come

4^{2}

$4^{2}$ .

b = \pm \sqrt{4^{2}}

$b = \pm \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 4.7.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

b = \pm 4

$b = \pm 4$

b = \pm 4

$b = \pm 4$

Passaggio 4.8

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di

\pm

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

b = 4

$b = 4$

Passaggio 4.8.2

Ora, usa il valore negativo del

\pm

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.

b = - 4

$b = - 4$

Passaggio 4.8.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

b = 4, - 4

$b = 4, - 4$

b = 4, - 4

$b = 4, - 4$

b = 4, - 4

$b = 4, - 4$

Passaggio 5

b

$b$ è una distanza, quindi dovrebbe essere un numero positivo.

b = 4

$b = 4$

Passaggio 6

Il coefficiente angolare della retta tra il fuoco

(2, - 2)

$(2, - 2)$ e il centro

(- 1, - 2)

$(- 1, - 2)$ determina se l'ellisse è verticali o orizzontale. Se il coefficiente angolare è

0

$0$ , il grafico è orizzontale. Se è indefinito, il grafico è verticale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il coefficiente angolare è uguale alla variazione in

y

$y$ sulla variazione in

x

$x$ , o ascissa e ordinata.

m = \frac{variazione in y}{variazione in x}

$m = \frac{variazione in y}{variazione in x}$

Passaggio 6.2

La variazione in

x

$x$ è uguale alla differenza nelle coordinate x (differenza tra ascisse) e la variazione in

y

$y$ è uguale alla differenza nelle coordinate y (differenza tra ordinate).

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Passaggio 6.3

Sostituisci i valori di

x

$x$ e

y

$y$ nell'equazione per trovare il coefficiente angolare.

m = \frac{- 2 - (- 2)}{- 1 - (2)}

$m = \frac{- 2 - (- 2)}{- 1 - (2)}$

Passaggio 6.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 2

$- 2$ .

m = \frac{- 2 + 2}{- 1 - (2)}

$m = \frac{- 2 + 2}{- 1 - (2)}$

Passaggio 6.4.1.2

Somma

- 2

$- 2$ e

2

$2$ .

m = \frac{0}{- 1 - (2)}

$m = \frac{0}{- 1 - (2)}$

m = \frac{0}{- 1 - (2)}

$m = \frac{0}{- 1 - (2)}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

2

$2$ .

m = \frac{0}{- 1 - 2}

$m = \frac{0}{- 1 - 2}$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai

2

$2$ da

- 1

$- 1$ .

m = \frac{0}{- 3}

$m = \frac{0}{- 3}$

m = \frac{0}{- 3}

$m = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 6.4.3

Dividi

0

$0$ per

- 3

$- 3$ .

m = 0

$m = 0$

m = 0

$m = 0$

Passaggio 6.5

L'equazione generale per un'ellissi orizzontale è

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 7

Sostituisci i valori

h = - 1

$h = - 1$ ,

k = - 2

$k = - 2$ ,

a = 5

$a = 5$ e

b = 4

$b = 4$ in

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ per ottenere l'equazione dell'ellissi

\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Passaggio 8

Semplifica per trovare l'equazione finale dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

\frac{{(x + 1)}^{2}}{5^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{5^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Passaggio 8.2

Eleva

5

$5$ alla potenza di

2

$2$ .

\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Passaggio 8.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 2

$- 2$ .

\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4^{2}} = 1

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4^{2}} = 1$

Passaggio 8.4

Eleva

4

$4$ alla potenza di

2

$2$ .

\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Passaggio 9

Inserisci il TUO problema