Algebra Esempi

(0, 1)

$(0, 1)$ ,

(6, 1)

$(6, 1)$ ,

(8, 1)

$(8, 1)$

Passaggio 1

Ci sono due equazioni generali per un'ellissi.

Equazione dell'ellissi orizzontale

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equazione dell'ellissi verticale

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 2

a

$a$ è la distanza tra il vertice

(8, 1)

$(8, 1)$ e il punto di centro

(0, 1)

$(0, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

a = \sqrt{{(8 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}

$a = \sqrt{{(8 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai

0

$0$ da

8

$8$ .

a = \sqrt{8^{2} + {(1 - 1)}^{2}}

$a = \sqrt{8^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Eleva

8

$8$ alla potenza di

2

$2$ .

a = \sqrt{64 + {(1 - 1)}^{2}}

$a = \sqrt{64 + {(1 - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Sottrai

1

$1$ da

1

$1$ .

a = \sqrt{64 + 0^{2}}

$a = \sqrt{64 + 0^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

a = \sqrt{64 + 0}

$a = \sqrt{64 + 0}$

Passaggio 2.3.5

Somma

64

$64$ e

0

$0$ .

a = \sqrt{64}

$a = \sqrt{64}$

Passaggio 2.3.6

Riscrivi

64

$64$ come

8^{2}

$8^{2}$ .

a = \sqrt{8^{2}}

$a = \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

a = 8

$a = 8$

a = 8

$a = 8$

a = 8

$a = 8$

Passaggio 3

c

$c$ è la distanza tra il fuoco

(6, 1)

$(6, 1)$ e il centro

(0, 1)

$(0, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

c = \sqrt{{(6 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}

$c = \sqrt{{(6 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai

0

$0$ da

6

$6$ .

c = \sqrt{6^{2} + {(1 - 1)}^{2}}

$c = \sqrt{6^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Eleva

6

$6$ alla potenza di

2

$2$ .

c = \sqrt{36 + {(1 - 1)}^{2}}

$c = \sqrt{36 + {(1 - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai

1

$1$ da

1

$1$ .

c = \sqrt{36 + 0^{2}}

$c = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

c = \sqrt{36 + 0}

$c = \sqrt{36 + 0}$

Passaggio 3.3.5

Somma

36

$36$ e

0

$0$ .

c = \sqrt{36}

$c = \sqrt{36}$

Passaggio 3.3.6

Riscrivi

36

$36$ come

6^{2}

$6^{2}$ .

c = \sqrt{6^{2}}

$c = \sqrt{6^{2}}$

Passaggio 3.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

c = 6

$c = 6$

c = 6

$c = 6$

c = 6

$c = 6$

Passaggio 4

Usare l'equazione

c^{2} = a^{2} - b^{2}

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Sostituisci

8

$8$ a

a

$a$ e

6

$6$ a

c

$c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come

{(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}

${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$ .

{(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}

${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$

Passaggio 4.2

Eleva

8

$8$ alla potenza di

2

$2$ .

64 - b^{2} = 6^{2}

$64 - b^{2} = 6^{2}$

Passaggio 4.3

Eleva

6

$6$ alla potenza di

2

$2$ .

64 - b^{2} = 36

$64 - b^{2} = 36$

Passaggio 4.4

Sposta tutti i termini non contenenti

b

$b$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sottrai

64

$64$ da entrambi i lati dell'equazione.

- b^{2} = 36 - 64

$- b^{2} = 36 - 64$

Passaggio 4.4.2

Sottrai

64

$64$ da

36

$36$ .

- b^{2} = - 28

$- b^{2} = - 28$

- b^{2} = - 28

$- b^{2} = - 28$

Passaggio 4.5

Dividi per

- 1

$- 1$ ciascun termine in

- b^{2} = - 28

$- b^{2} = - 28$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Dividi per

- 1

$- 1$ ciascun termine in

- b^{2} = - 28

$- b^{2} = - 28$ .

\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 28}{- 1}

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 28}{- 1}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 28}{- 1}

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 28}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Dividi

b^{2}

$b^{2}$ per

1

$1$ .

b^{2} = \frac{- 28}{- 1}

$b^{2} = \frac{- 28}{- 1}$

b^{2} = \frac{- 28}{- 1}

$b^{2} = \frac{- 28}{- 1}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Dividi

- 28

$- 28$ per

- 1

$- 1$ .

b^{2} = 28

$b^{2} = 28$

Passaggio 4.6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$b = \pm \sqrt{28}$

Passaggio 4.7

Semplifica

$\pm \sqrt{28}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Riscrivi

$28$ come

$2^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.1

Scomponi

$4$ da

$28$ .

$b = \pm \sqrt{4 (7)}$

Passaggio 4.7.1.2

Riscrivi

$4$ come

$2^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Passaggio 4.7.2

Estrai i termini dal radicale.

$b = \pm 2 \sqrt{7}$

Passaggio 4.8

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

$b = 2 \sqrt{7}$

Passaggio 4.8.2

Ora, usa il valore negativo del

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$b = - 2 \sqrt{7}$

Passaggio 4.8.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}$

Passaggio 5

$b$ è una distanza, quindi dovrebbe essere un numero positivo.

$b = 2 \sqrt{7}$

Passaggio 6

Il coefficiente angolare della retta tra il fuoco

$(6, 1)$ e il centro

$(0, 1)$ determina se l'ellisse è verticali o orizzontale. Se il coefficiente angolare è

$0$ , il grafico è orizzontale. Se è indefinito, il grafico è verticale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il coefficiente angolare è uguale alla variazione in

$y$ sulla variazione in

$x$ , o ascissa e ordinata.

$m = \frac{variazione in y}{variazione in x}$

Passaggio 6.2

La variazione in

$x$ è uguale alla differenza nelle coordinate x (differenza tra ascisse) e la variazione in

$y$ è uguale alla differenza nelle coordinate y (differenza tra ordinate).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Passaggio 6.3

Sostituisci i valori di

$x$ e

$y$ nell'equazione per trovare il coefficiente angolare.

$m = \frac{1 - (1)}{0 - (6)}$

Passaggio 6.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$m = \frac{1 - 1}{0 - (6)}$

Passaggio 6.4.1.2

Sottrai

$1$ da

$1$ .

$m = \frac{0}{0 - (6)}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$6$ .

$m = \frac{0}{0 - 6}$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai

$6$ da

$0$ .

$m = \frac{0}{- 6}$

Passaggio 6.4.3

Dividi

$0$ per

$- 6$ .

$m = 0$

Passaggio 6.5

L'equazione generale per un'ellissi orizzontale è

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 7

Sostituisci i valori

$h = 0$ ,

$k = 1$ ,

$a = 8$ e

$b = 2 \sqrt{7}$ in

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ per ottenere l'equazione dell'ellissi

$\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Passaggio 8

Semplifica per trovare l'equazione finale dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$0$ .

$\frac{{(x + 0)}^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.1.2

Somma

$x$ e

$0$ .

$\frac{x^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.2

Eleva

$8$ alla potenza di

$2$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.3

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Applica la regola del prodotto a

$2 \sqrt{7}$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4.2

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4.3

Riscrivi

${\sqrt{7}}^{2}$ come

$7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.3.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{7}$ come

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Passaggio 8.4.3.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Passaggio 8.4.3.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Passaggio 8.4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Passaggio 8.4.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Passaggio 8.5

Moltiplica

$4$ per

$7$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{28} = 1$

Passaggio 9

Inserisci il TUO problema