Algebra Esempi

(1, 2)

$(1, 2)$ ,

(4, 2)

$(4, 2)$ ,

(5, 2)

$(5, 2)$

Passaggio 1

Ci sono due equazioni generali per un'ellissi.

Equazione dell'ellissi orizzontale

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equazione dell'ellissi verticale

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 2

a

$a$ è la distanza tra il vertice

(5, 2)

$(5, 2)$ e il punto di centro

(1, 2)

$(1, 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}

$a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai

1

$1$ da

5

$5$ .

a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}

$a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Eleva

4

$4$ alla potenza di

2

$2$ .

a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}

$a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Sottrai

2

$2$ da

2

$2$ .

a = \sqrt{16 + 0^{2}}

$a = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

a = \sqrt{16 + 0}

$a = \sqrt{16 + 0}$

Passaggio 2.3.5

Somma

16

$16$ e

0

$0$ .

a = \sqrt{16}

$a = \sqrt{16}$

Passaggio 2.3.6

Riscrivi

16

$16$ come

4^{2}

$4^{2}$ .

a = \sqrt{4^{2}}

$a = \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

a = 4

$a = 4$

a = 4

$a = 4$

a = 4

$a = 4$

Passaggio 3

c

$c$ è la distanza tra il fuoco

(4, 2)

$(4, 2)$ e il centro

(1, 2)

$(1, 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}

$c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai

1

$1$ da

4

$4$ .

c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}

$c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Eleva

3

$3$ alla potenza di

2

$2$ .

c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}

$c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai

2

$2$ da

2

$2$ .

c = \sqrt{9 + 0^{2}}

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

c = \sqrt{9 + 0}

$c = \sqrt{9 + 0}$

Passaggio 3.3.5

Somma

9

$9$ e

0

$0$ .

c = \sqrt{9}

$c = \sqrt{9}$

Passaggio 3.3.6

Riscrivi

9

$9$ come

3^{2}

$3^{2}$ .

c = \sqrt{3^{2}}

$c = \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 3.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

Passaggio 4

Usare l'equazione

c^{2} = a^{2} - b^{2}

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Sostituisci

4

$4$ a

a

$a$ e

3

$3$ a

c

$c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come

{(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

{(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Passaggio 4.2

Eleva

4

$4$ alla potenza di

2

$2$ .

16 - b^{2} = 3^{2}

$16 - b^{2} = 3^{2}$

Passaggio 4.3

Eleva

3

$3$ alla potenza di

2

$2$ .

16 - b^{2} = 9

$16 - b^{2} = 9$

Passaggio 4.4

Sposta tutti i termini non contenenti

b

$b$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sottrai

16

$16$ da entrambi i lati dell'equazione.

- b^{2} = 9 - 16

$- b^{2} = 9 - 16$

Passaggio 4.4.2

Sottrai

16

$16$ da

9

$9$ .

- b^{2} = - 7

$- b^{2} = - 7$

- b^{2} = - 7

$- b^{2} = - 7$

Passaggio 4.5

Dividi per

- 1

$- 1$ ciascun termine in

- b^{2} = - 7

$- b^{2} = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Dividi per

- 1

$- 1$ ciascun termine in

- b^{2} = - 7

$- b^{2} = - 7$ .

\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Dividi

b^{2}

$b^{2}$ per

1

$1$ .

b^{2} = \frac{- 7}{- 1}

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

b^{2} = \frac{- 7}{- 1}

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Dividi

- 7

$- 7$ per

- 1

$- 1$ .

b^{2} = 7

$b^{2} = 7$

b^{2} = 7

$b^{2} = 7$

b^{2} = 7

$b^{2} = 7$

Passaggio 4.6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

b = \pm \sqrt{7}

$b = \pm \sqrt{7}$

Passaggio 4.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di

\pm

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

b = \sqrt{7}

$b = \sqrt{7}$

Passaggio 4.7.2

Ora, usa il valore negativo del

\pm

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.

b = - \sqrt{7}

$b = - \sqrt{7}$

Passaggio 4.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Passaggio 5

b

$b$ è una distanza, quindi dovrebbe essere un numero positivo.

b = \sqrt{7}

$b = \sqrt{7}$

Passaggio 6

Il coefficiente angolare della retta tra il fuoco

(4, 2)

$(4, 2)$ e il centro

(1, 2)

$(1, 2)$ determina se l'ellisse è verticali o orizzontale. Se il coefficiente angolare è

0

$0$ , il grafico è orizzontale. Se è indefinito, il grafico è verticale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il coefficiente angolare è uguale alla variazione in

y

$y$ sulla variazione in

x

$x$ , o ascissa e ordinata.

m = \frac{variazione in y}{variazione in x}

$m = \frac{variazione in y}{variazione in x}$

Passaggio 6.2

La variazione in

x

$x$ è uguale alla differenza nelle coordinate x (differenza tra ascisse) e la variazione in

y

$y$ è uguale alla differenza nelle coordinate y (differenza tra ordinate).

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Passaggio 6.3

Sostituisci i valori di

x

$x$ e

y

$y$ nell'equazione per trovare il coefficiente angolare.

m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}

$m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}$

Passaggio 6.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

2

$2$ .

m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}

$m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}$

Passaggio 6.4.1.2

Sottrai

2

$2$ da

2

$2$ .

m = \frac{0}{1 - (4)}

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

m = \frac{0}{1 - (4)}

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

4

$4$ .

m = \frac{0}{1 - 4}

$m = \frac{0}{1 - 4}$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai

4

$4$ da

1

$1$ .

m = \frac{0}{- 3}

$m = \frac{0}{- 3}$

m = \frac{0}{- 3}

$m = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 6.4.3

Dividi

0

$0$ per

- 3

$- 3$ .

m = 0

$m = 0$

m = 0

$m = 0$

Passaggio 6.5

L'equazione generale per un'ellissi orizzontale è

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 7

Sostituisci i valori

h = 1

$h = 1$ ,

k = 2

$k = 2$ ,

a = 4

$a = 4$ e

b = \sqrt{7}

$b = \sqrt{7}$ in

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ per ottenere l'equazione dell'ellissi

\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Passaggio 8

Semplifica per trovare l'equazione finale dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.2

Eleva

4

$4$ alla potenza di

2

$2$ .

\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

2

$2$ .

\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4

Riscrivi

{\sqrt{7}}^{2}

${\sqrt{7}}^{2}$ come

7

$7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{7}

$\sqrt{7}$ come

7^{\frac{1}{2}}

$7^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Passaggio 8.4.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Passaggio 8.4.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.4.1

Elimina il fattore comune.

\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Passaggio 8.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1