Algebra Esempi

(5, - 3)

$(5, - 3)$ ,

(4, - 3)

$(4, - 3)$ ,

(- 5, - 3)

$(- 5, - 3)$

Passaggio 1

Ci sono due equazioni generali per un'iperbole.

Equazione dell'iperbole orizzontale

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equazione dell'iperbole verticale

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 2

a

$a$ è la distanza tra il vertice

(4, - 3)

$(4, - 3)$ e il punto di centro

(5, - 3)

$(5, - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai

5

$5$ da

4

$4$ .

a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

2

$2$ .

a = \sqrt{1 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$a = \sqrt{1 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 3

$- 3$ .

a = \sqrt{1 + {(- 3 + 3)}^{2}}

$a = \sqrt{1 + {(- 3 + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Somma

- 3

$- 3$ e

3

$3$ .

a = \sqrt{1 + 0^{2}}

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

a = \sqrt{1 + 0}

$a = \sqrt{1 + 0}$

Passaggio 2.3.6

Somma

1

$1$ e

0

$0$ .

a = \sqrt{1}

$a = \sqrt{1}$

Passaggio 2.3.7

Qualsiasi radice di

1

$1$ è

1

$1$ .

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

Passaggio 3

c

$c$ è la distanza tra il fuoco

(- 5, - 3)

$(- 5, - 3)$ e il centro

(5, - 3)

$(5, - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai

5

$5$ da

- 5

$- 5$ .

c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Eleva

- 10

$- 10$ alla potenza di

2

$2$ .

c = \sqrt{100 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$c = \sqrt{100 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 3

$- 3$ .

c = \sqrt{100 + {(- 3 + 3)}^{2}}

$c = \sqrt{100 + {(- 3 + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Somma

- 3

$- 3$ e

3

$3$ .

c = \sqrt{100 + 0^{2}}

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

c = \sqrt{100 + 0}

$c = \sqrt{100 + 0}$

Passaggio 3.3.6

Somma

100

$100$ e

0

$0$ .

c = \sqrt{100}

$c = \sqrt{100}$

Passaggio 3.3.7

Riscrivi

100

$100$ come

10^{2}

$10^{2}$ .

c = \sqrt{10^{2}}

$c = \sqrt{10^{2}}$

Passaggio 3.3.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

c = 10

$c = 10$

c = 10

$c = 10$

c = 10

$c = 10$

Passaggio 4

Usare l'equazione

c^{2} = a^{2} + b^{2}

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Sostituisci

1

$1$ a

a

$a$ e

10

$10$ a

c

$c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come

{(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ .

{(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

Passaggio 4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

1 + b^{2} = 10^{2}

$1 + b^{2} = 10^{2}$

Passaggio 4.3

Eleva

10

$10$ alla potenza di

2

$2$ .

1 + b^{2} = 100

$1 + b^{2} = 100$

Passaggio 4.4

Sposta tutti i termini non contenenti

b

$b$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sottrai

1

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

b^{2} = 100 - 1

$b^{2} = 100 - 1$

Passaggio 4.4.2

Sottrai

1

$1$ da

100

$100$ .

b^{2} = 99

$b^{2} = 99$

b^{2} = 99

$b^{2} = 99$

Passaggio 4.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

b = \pm \sqrt{99}

$b = \pm \sqrt{99}$

Passaggio 4.6

Semplifica

\pm \sqrt{99}

$\pm \sqrt{99}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Riscrivi

99

$99$ come

3^{2} \cdot 11

$3^{2} \cdot 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1

Scomponi

9

$9$ da

99

$99$ .

b = \pm \sqrt{9 (11)}

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

Passaggio 4.6.1.2

Riscrivi

9

$9$ come

3^{2}

$3^{2}$ .

b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

Passaggio 4.6.2

Estrai i termini dal radicale.

b = \pm 3 \sqrt{11}

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

Passaggio 4.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

$b = 3 \sqrt{11}$

Passaggio 4.7.2

Ora, usa il valore negativo del

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$b = - 3 \sqrt{11}$

Passaggio 4.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

Passaggio 5

$b$ è una distanza, quindi dovrebbe essere un numero positivo.

$b = 3 \sqrt{11}$

Passaggio 6

Il coefficiente angolare della retta tra il fuoco

$(- 5, - 3)$ e il centro

$(5, - 3)$ determina se l'iperbole è verticale o orizzontale. Se il coefficiente angolare è

$0$ , il grafico è orizzontale. Se è indefinito, il grafico è verticale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il coefficiente angolare è uguale alla variazione in

$y$ sulla variazione in

$x$ , o ascissa e ordinata.

$m = \frac{variazione in y}{variazione in x}$

Passaggio 6.2

La variazione in

$x$ è uguale alla differenza nelle coordinate x (differenza tra ascisse) e la variazione in

$y$ è uguale alla differenza nelle coordinate y (differenza tra ordinate).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Passaggio 6.3

Sostituisci i valori di

$x$ e

$y$ nell'equazione per trovare il coefficiente angolare.

$m = \frac{- 3 - (- 3)}{5 - (- 5)}$

Passaggio 6.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 3$ .

$m = \frac{- 3 + 3}{5 - (- 5)}$

Passaggio 6.4.1.2

Somma

$- 3$ e

$3$ .

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 5$ .

$m = \frac{0}{5 + 5}$

Passaggio 6.4.2.2

Somma

$5$ e

$5$ .

$m = \frac{0}{10}$

Passaggio 6.4.3

Dividi

$0$ per

$10$ .

$m = 0$

Passaggio 6.5

L'equazione generale per un'iperbole orizzontale è

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 7

Sostituisci i valori

$h = 5$ ,

$k = - 3$ ,

$a = 1$ e

$b = 3 \sqrt{11}$ in

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ per ottenere l'equazione dell'iperbole

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Passaggio 8

Semplifica per trovare l'equazione finale dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica

$- 1$ per

$5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.3

Dividi

${(x - 5)}^{2}$ per

$1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4

Moltiplica

$- 1$ per

$- 3$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Applica la regola del prodotto a

$3 \sqrt{11}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Passaggio 8.5.2

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Passaggio 8.5.3

Riscrivi

${\sqrt{11}}^{2}$ come

$11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{11}$ come

$11^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.5.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Passaggio 8.5.3.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Passaggio 8.5.3.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Passaggio 8.5.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Passaggio 8.5.3.5

Calcola l'esponente.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Passaggio 8.6

Moltiplica

$9$ per

$11$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{99} = 1$

Passaggio 9

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