Algebra Esempi

f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

Passaggio 1

Fattorizza

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , dove

p

$p$ è un fattore della costante e

q

$q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Passaggio 1.1.2

Trova ciascuna combinazione di

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci

1

$1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a

0

$0$ quindi

1

$1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sostituisci

1

$1$ nel polinomio.

1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Passaggio 1.1.3.2

Eleva

1

$1$ alla potenza di

3

$3$ .

1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Passaggio 1.1.3.3

Eleva

1

$1$ alla potenza di

2

$2$ .

1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica

4

$4$ per

1

$1$ .

1 + 4 + 1 - 6

$1 + 4 + 1 - 6$

Passaggio 1.1.3.5

Somma

1

$1$ e

4

$4$ .

5 + 1 - 6

$5 + 1 - 6$

Passaggio 1.1.3.6

Somma

5

$5$ e

1

$1$ .

6 - 6

$6 - 6$

Passaggio 1.1.3.7

Sottrai

6

$6$ da

6

$6$ .

0

$0$

0

$0$

Passaggio 1.1.4

Poiché

1

$1$ è una radice nota, dividi il polinomio per

x - 1

$x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

Passaggio 1.1.5

Dividi

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ per

x - 1

$x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di

0

$0$ .

x

$x$

1

$1$

x^{3}

$x^{3}$

4 x^{2}

$4 x^{2}$

x

$x$

6

$6$

Passaggio 1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

x^{3}

$x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$

Passaggio 1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$x^{2}$ $x^{2}$

Passaggio 1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

x^{3} - x^{2}

$x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$

Passaggio 1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$

Passaggio 1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$

Passaggio 1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

5 x^{2}

$5 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$

Passaggio 1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	-	$5 x$ $5 x$

Passaggio 1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

5 x^{2} - 5 x

$5 x^{2} - 5 x$

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$

Passaggio 1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$

Passaggio 1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$

Passaggio 1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

6 x

$6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$

Passaggio 1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$

Passaggio 1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

6 x - 6

$6 x - 6$

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$
							-	$6 x$ $6 x$	+	$6$ $6$

Passaggio 1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$
							-	$6 x$ $6 x$	+	$6$ $6$
										$0$ $0$

Passaggio 1.1.5.16

Poiché il resto è

0

$0$ , la risposta finale è il quoziente.

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$

Passaggio 1.1.6

Scrivi

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ come insieme di fattori.

f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Passaggio 1.2

Scomponi

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Considera la forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è

c

$c$ e la cui formula è

b

$b$ . In questo caso, il cui prodotto è

6

$6$ e la cui somma è

5

$5$ .

2, 3

$2, 3$

Passaggio 1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Passaggio 2

Scomponi

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Considera la forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è

c

$c$ e la cui formula è

b

$b$ . In questo caso, il cui prodotto è

6

$6$ e la cui somma è

5

$5$ .

2, 3

$2, 3$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Passaggio 3

Elimina il fattore comune di

x + 2

$x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune.

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'espressione.

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di

x + 3

$x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune.

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 4.2

Dividi

x - 1

$x - 1$ per

1

$1$ .

f (x) = x - 1

$f (x) = x - 1$

f (x) = x - 1

$f (x) = x - 1$

Passaggio 5

Per trovare gli spazi vuoti nel grafico, guarda i fattori dei denominatori che sono stati annullati.

x + 2, x + 3

$x + 2, x + 3$

Passaggio 6

Per trovare le coordinate degli spazi vuoti, imposta ogni fattore che è stato annullato uguale a

0

$0$ , risolvi e inseriscilo nuovamente in

x - 1

$x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta

x + 2

$x + 2$ uguale a

0

$0$ .

x + 2 = 0

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai

2

$2$ da entrambi i lati dell'equazione.

x = - 2

$x = - 2$

Passaggio 6.3

Sostituisci

x

$x$ con

- 2

$- 2$ in

x - 1

$x - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci

x

$x$ con

- 2

$- 2$ per trovare la coordinata

y

$y$ per lo spazio vuoto.

- 2 - 1

$- 2 - 1$

Passaggio 6.3.2

Sottrai

1

$1$ da

- 2

$- 2$ .

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

Passaggio 6.4

Imposta

x + 3

$x + 3$ uguale a

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Passaggio 6.5

Sottrai

3

$3$ da entrambi i lati dell'equazione.

x = - 3

$x = - 3$

Passaggio 6.6

Sostituisci

x

$x$ con

- 3

$- 3$ in

x - 1

$x - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Sostituisci

x

$x$ con

- 3

$- 3$ per trovare la coordinata

y

$y$ per lo spazio vuoto.

- 3 - 1

$- 3 - 1$

Passaggio 6.6.2

Sottrai

1

$1$ da

- 3

$- 3$ .

- 4

$- 4$

- 4

$- 4$

Passaggio 6.7

Gli spazi vuoti nel grafico sono i punti in cui uno qualsiasi dei fattori annullati è uguale a

0

$0$ .

(- 2, - 3), (- 3, - 4)

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

(- 2, - 3), (- 3, - 4)

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

Passaggio 7

Inserisci il TUO problema