Algebra Esempi

$(1, 1, 1)$ , $(1, 2, 3)$ , $(2, 2, 2)$ , $(4, 7, 10)$

Passaggio 1

Dati i punti $C = (2, 2, 2)$ e $D = (4, 7, 10)$ , trova un piano contenente i punti $A = (1, 1, 1)$ e $B = (1, 2, 3)$ che sia parallelo alla retta $CD$ .

$A = (1, 1, 1)$

$B = (1, 2, 3)$

$C = (2, 2, 2)$

$D = (4, 7, 10)$

Passaggio 2

Innanzitutto, calcola il vettore direzionale della retta passante per i punti $C$ e $D$ . Ciò può essere effettuato prendendo il valori delle coordinate del punto $C$ e sottraendole dal punto $D$ .

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Passaggio 3

Sostituisci i valori $x$ , $y$ e $z$ quindi semplifica per ottenere il vettore direttore $V_{CD}$ per la retta $CD$ .

$V_{CD} = ⟨ 2, 5, 8 ⟩$

Passaggio 4

Calcola il vettore direttore di una retta attraverso i punti $A$ e $B$ usando lo stesso metodo.

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Passaggio 5

Sostituisci i valori $x$ , $y$ e $z$ quindi semplifica per ottenere il vettore direttore $V_{AB}$ per la retta $AB$ .

$V_{AB} = ⟨ 0, 1, 2 ⟩$

Passaggio 6

Il piano della soluzione conterrà una retta che a sua volta contiene i punti $A$ e $B$ e il vettore direttore $V_{A B}$ . Per far sì che questo piano sia parallelo alla retta $C D$ , trova il vettore normale del piano, che è anche ortogonale al vettore direttore della retta $C D$ . Calcola il vettore normale trovando il prodotto vettoriale $V_{A B}$ x $V_{C D}$ attraverso il determinante della matrice $[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 8 \end{array}]$

Passaggio 7

Calcola il determinante.

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Passaggio 7.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga $1$ per il proprio cofattore e somma.

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Passaggio 7.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 7.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 7.1.3

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica l'elemento $a_{11}$ per il suo cofattore.

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

Passaggio 7.1.5

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Passaggio 7.1.6

Moltiplica l'elemento $a_{12}$ per il suo cofattore.

$- | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j$

Passaggio 7.1.7

Il minore per $a_{13}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$

Passaggio 7.1.8

Moltiplica l'elemento $a_{13}$ per il suo cofattore.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.1.9

Somma i termini.

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.2

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$ .

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Passaggio 7.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i (1 \cdot 8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.2.1.1

Moltiplica $8$ per $1$ .

$i (8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$i (8 - 10) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $10$ da $8$ .

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.3

Calcola $| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$ .

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Passaggio 7.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot - 2 - (0 \cdot 8 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 7.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.2.1.1

Moltiplica $0$ per $8$ .

$i \cdot - 2 - (0 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.3.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$i \cdot - 2 - (0 - 4) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.3.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.4

Calcola $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$ .

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Passaggio 7.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 \cdot 5 - 2 \cdot 1) k$

Passaggio 7.4.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 7.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1

Moltiplica $0$ per $5$ .

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2 \cdot 1) k$

Passaggio 7.4.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k$

Passaggio 7.4.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

Passaggio 7.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.5.1

Sposta $- 2$ alla sinistra di $i$ .

$- 2 \cdot i - - 4 j - 2 k$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$- 2 i + 4 j - 2 k$

Passaggio 8

Risolvi l'espressione $(- 2) x + (4) y + (- 2) z$ al punto $A$ poiché si trova sul piano. Questo è usato per calcolare la costante nell'equazione per il piano.

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Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 + (4) \cdot 1 + (- 2) \cdot 1$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 2 + 4 + (- 2) \cdot 1$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 + 4 - 2$

Passaggio 8.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 8.2.1

Somma $- 2$ e $4$ .

$2 - 2$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$0$

Passaggio 9

Aggiungi la costante per trovare l'equazione del piano $(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$ .

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$

Passaggio 10

Moltiplica $- 2$ per $z$ .

$- 2 x + 4 y - 2 z = 0$

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