Algebra Esempi

(1, 2, 3)

$(1, 2, 3)$ ,

(2, 5, 6)

$(2, 5, 6)$ ,

(2, 9, 7)

$(2, 9, 7)$ ,

(3, 3, 3)

$(3, 3, 3)$

Passaggio 1

Dati i punti

C = (2, 9, 7)

$C = (2, 9, 7)$ e

D = (3, 3, 3)

$D = (3, 3, 3)$ , trova un piano contenente i punti

A = (1, 2, 3)

$A = (1, 2, 3)$ e

B = (2, 5, 6)

$B = (2, 5, 6)$ che sia parallelo alla retta

CD

$CD$ .

A = (1, 2, 3)

$A = (1, 2, 3)$

B = (2, 5, 6)

$B = (2, 5, 6)$

C = (2, 9, 7)

$C = (2, 9, 7)$

D = (3, 3, 3)

$D = (3, 3, 3)$

Passaggio 2

Innanzitutto, calcola il vettore direzionale della retta passante per i punti

C

$C$ e

D

$D$ . Ciò può essere effettuato prendendo il valori delle coordinate del punto

C

$C$ e sottraendole dal punto

D

$D$ .

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Passaggio 3

Sostituisci i valori

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ quindi semplifica per ottenere il vettore direttore

V_{CD}

$V_{CD}$ per la retta

CD

$CD$ .

V_{CD} = ⟨ 1, - 6, - 4 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 1, - 6, - 4 ⟩$

Passaggio 4

Calcola il vettore direttore di una retta attraverso i punti

A

$A$ e

B

$B$ usando lo stesso metodo.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Passaggio 5

Sostituisci i valori

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ quindi semplifica per ottenere il vettore direttore

V_{AB}

$V_{AB}$ per la retta

AB

$AB$ .

V_{AB} = ⟨ 1, 3, 3 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 1, 3, 3 ⟩$

Passaggio 6

Il piano della soluzione conterrà una retta che a sua volta contiene i punti

A

$A$ e

B

$B$ e il vettore direttore

V_{A B}

$V_{A B}$ . Per far sì che questo piano sia parallelo alla retta

C D

$C D$ , trova il vettore normale del piano, che è anche ortogonale al vettore direttore della retta

C D

$C D$ . Calcola il vettore normale trovando il prodotto vettoriale

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ attraverso il determinante della matrice

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k 1 & 3 & 3 1 & - 6 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & - 6 & - 4 \end{array}]$

Passaggio 7

Calcola il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

0

$0$ . Se non ci sono elementi

0

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga

1

$1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 7.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

-

$-$ .

Passaggio 7.1.3

Il minore per

a_{11}

$a_{11}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

1

$1$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica l'elemento

a_{11}

$a_{11}$ per il suo cofattore.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 7.1.5

Il minore per

a_{12}

$a_{12}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

2

$2$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 7.1.6

Moltiplica l'elemento

a_{12}

$a_{12}$ per il suo cofattore.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j$

Passaggio 7.1.7

Il minore per

a_{13}

$a_{13}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

3

$3$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$

Passaggio 7.1.8

Moltiplica l'elemento

a_{13}

$a_{13}$ per il suo cofattore.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Passaggio 7.1.9

Somma i termini.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Passaggio 7.2

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i (3 \cdot - 4 - (- 6 \cdot 3)) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (3 \cdot - 4 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Moltiplica

3

$3$ per

- 4

$- 4$ .

i (- 12 - (- 6 \cdot 3)) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 12 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica

- (- 6 \cdot 3)

$- (- 6 \cdot 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1

Moltiplica

- 6

$- 6$ per

3

$3$ .

i (- 12 - - 18) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 12 - - 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2.1.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 18

$- 18$ .

i (- 12 + 18) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 12 + 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

i (- 12 + 18) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 12 + 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

i (- 12 + 18) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 12 + 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2.2

Somma

- 12

$- 12$ e

18

$18$ .

i \cdot 6 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 6 - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

i \cdot 6 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 6 - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

i \cdot 6 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 6 - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Passaggio 7.3

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot 6 - (1 \cdot - 4 - 1 \cdot 3) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 6 - (1 \cdot - 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

1

$1$ .

i \cdot 6 - (- 4 - 1 \cdot 3) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 6 - (- 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Passaggio 7.3.2.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

3

$3$ .

i \cdot 6 - (- 4 - 3) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 6 - (- 4 - 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

i \cdot 6 - (- 4 - 3) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 6 - (- 4 - 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Passaggio 7.3.2.2

Sottrai

3

$3$ da

- 4

$- 4$ .

i \cdot 6 - - 7 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 6 - - 7 j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

i \cdot 6 - - 7 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 6 - - 7 j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

i \cdot 6 - - 7 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 6 - - 7 j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Passaggio 7.4

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + (1 \cdot - 6 - 1 \cdot 3) k$

Passaggio 7.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1

Moltiplica

$- 6$ per

$1$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 1 \cdot 3) k$

Passaggio 7.4.2.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$3$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 3) k$

Passaggio 7.4.2.2

Sottrai

$3$ da

$- 6$ .

$i \cdot 6 - - 7 j - 9 k$

Passaggio 7.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sposta

$6$ alla sinistra di

$i$ .

$6 \cdot i - - 7 j - 9 k$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 7$ .

$6 i + 7 j - 9 k$

Passaggio 8

Risolvi l'espressione

$(6) x + (7) y + (- 9) z$ al punto

$A$ poiché si trova sul piano. Questo è usato per calcolare la costante nell'equazione per il piano.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica

$6$ per

$1$ .

$6 + (7) \cdot 2 + (- 9) \cdot 3$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica

$7$ per

$2$ .

$6 + 14 + (- 9) \cdot 3$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica

$- 9$ per

$3$ .

$6 + 14 - 27$

Passaggio 8.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Somma

$6$ e

$14$ .

$20 - 27$

Passaggio 8.2.2

Sottrai

$27$ da

$20$ .

$- 7$

Passaggio 9

Aggiungi la costante per trovare l'equazione del piano

$(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$ .

$(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$

Passaggio 10

Moltiplica

$- 9$ per

$z$ .

$6 x + 7 y - 9 z = - 7$

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