Algebra Esempi

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ ,

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$

Passaggio 1

Per determinare l'intersezione di una retta passante per il punto

(p, q, r)

$(p, q, r)$ e perpendicolare al piano

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ e al piano

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ :

1. Trova i vettori normali del piano

P_{1}

$P_{1}$ e del piano

P_{2}

$P_{2}$ , dove i vettori normali sono

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifica se il prodotto scalare è 0.

2. Crea una serie di equazioni parametriche tale che

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ e

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. Sostituisci queste equazioni nell'equazione del piano

P_{2}

$P_{2}$ in modo tale che

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ e risolvi per

t

$t$ .

4. usando il valore di

t

$t$ , risolvi le equazioni parametriche

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ e

z = r + c t

$z = r + c t$ per

t

$t$ per trovare l'intersezione

(x, y, z)

$(x, y, z)$ .

Passaggio 2

Trova i vettori normali per ciascun piano e determina se sono perpendicolari calcolando il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

P_{1}

$P_{1}$ è

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ . Calcola il vettore normale

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dall'equazione del piano della forma

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ .

n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

Passaggio 2.2

P_{2}

$P_{2}$ è

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$ . Calcola il vettore normale

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dall'equazione del piano della forma

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ .

n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩$

Passaggio 2.3

Calcola il prodotto scalare di

n_{1}

$n_{1}$ e

n_{2}

$n_{2}$ sommando i prodotti dei corrispondenti valori

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ nei vettori normali.

3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Passaggio 2.4

Semplifica il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Rimuovi le parentesi.

3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Passaggio 2.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica

3

$3$ per

1

$1$ .

3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 2

$- 2$ .

3 + 2 + 0 \cdot 0

$3 + 2 + 0 \cdot 0$

Passaggio 2.4.2.3

Moltiplica

0

$0$ per

0

$0$ .

3 + 2 + 0

$3 + 2 + 0$

3 + 2 + 0

$3 + 2 + 0$

Passaggio 2.4.3

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Somma

3

$3$ e

2

$2$ .

5 + 0

$5 + 0$

Passaggio 2.4.3.2

Somma

5

$5$ e

0

$0$ .

5

$5$

5

$5$

5

$5$

5

$5$

Passaggio 3

Quindi costruisci una serie di equazioni parametriche

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ e

z = r + c t

$z = r + c t$ usando l'origine

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ per il punto

(p, q, r)

$(p, q, r)$ e i valori del vettore normale

5

$5$ per i valori di

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ . Questa serie di equazioni parametriche rappresenta la retta attraverso l'origine perpendicolare a

P_{1}

$P_{1}$

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ .

x = 0 + 3 \cdot t

$x = 0 + 3 \cdot t$

y = 0 + - 1 \cdot t

$y = 0 + - 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

Passaggio 4

Sostituisci l'espressione a

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ nell'equazione per

P_{2}

$P_{2}$

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$ .

(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per

t

$t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica

(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Combina i termini opposti in

(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Somma

0

$0$ e

3 \cdot t

$3 \cdot t$ .

3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3

$3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Passaggio 5.1.1.2

Sottrai

1 \cdot t

$1 \cdot t$ da

0

$0$ .

3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

Passaggio 5.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Riscrivi

- 1 t

$- 1 t$ come

- t

$- t$ .

3 t - 2 (- t) = - 3

$3 t - 2 (- t) = - 3$

Passaggio 5.1.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 2

$- 2$ .

3 t + 2 t = - 3

$3 t + 2 t = - 3$

3 t + 2 t = - 3

$3 t + 2 t = - 3$

Passaggio 5.1.3

Somma

3 t

$3 t$ e

2 t

$2 t$ .

5 t = - 3

$5 t = - 3$

5 t = - 3

$5 t = - 3$

Passaggio 5.2

Dividi per

5

$5$ ciascun termine in

5 t = - 3

$5 t = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per

5

$5$ ciascun termine in

5 t = - 3

$5 t = - 3$ .

\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di

5

$5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi

$t$ per

$1$ .

$t = \frac{- 3}{5}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t = - \frac{3}{5}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione parametrica per

$x$ ,

$y$ e

$z$ usando il valore di

$t$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Risolvi l'equazione per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 0 + 3 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Passaggio 6.1.2

Rimuovi le parentesi.

$x = 0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$

Passaggio 6.1.3

Semplifica

$0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1.1

Moltiplica

$3 (- \frac{3}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$3$ .

$x = 0 - 3 (\frac{3}{5})$

Passaggio 6.1.3.1.1.2

$- 3$ e

$\frac{3}{5}$ .

$x = 0 + \frac{- 3 \cdot 3}{5}$

Passaggio 6.1.3.1.1.3

Moltiplica

$- 3$ per

$3$ .

$x = 0 + \frac{- 9}{5}$

Passaggio 6.1.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = 0 - \frac{9}{5}$

Passaggio 6.1.3.2

Sottrai

$\frac{9}{5}$ da

$0$ .

$x = - \frac{9}{5}$

Passaggio 6.2

Risolvi l'equazione per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Passaggio 6.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$

Passaggio 6.2.3

Semplifica

$0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica

$- 1 (- \frac{3}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$y = 0 + 1 (\frac{3}{5})$

Passaggio 6.2.3.1.2

Moltiplica

$\frac{3}{5}$ per

$1$ .

$y = 0 + \frac{3}{5}$

Passaggio 6.2.3.2

Somma

$0$ e

$\frac{3}{5}$ .

$y = \frac{3}{5}$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per

$z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Rimuovi le parentesi.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Passaggio 6.3.2

Rimuovi le parentesi.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$

Passaggio 6.3.3

Semplifica

$0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica

$0 (- \frac{3}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{3}{5})$

Passaggio 6.3.3.1.2

Moltiplica

$0$ per

$\frac{3}{5}$ .

$z = 0 + 0$

Passaggio 6.3.3.2

Somma

$0$ e

$0$ .

$z = 0$

Passaggio 6.4

Le equazioni parametriche risolte per

$x$ ,

$y$ e

$z$ .

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

Passaggio 7

Usando i valori calcolati per

$x$ ,

$y$ e

$z$ , il punto di intersezione risulta essere

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$ .

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$

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