Esempi

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & - 1 \\ 1 & 6 & 3 \\ 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Passaggio 2

Usa il grafico dei segni e la matrice data per trovare il cofattore di ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il minore per l'elemento $a_{11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 6 & 3 \\ - 4 & 0 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 6 \cdot 0 - (- 4 \cdot 3)$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Moltiplica $6$ per $0$ .

$a_{11} = 0 - (- 4 \cdot 3)$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Moltiplica $- (- 4 \cdot 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$a_{11} = 0 - - 12$

Passaggio 2.1.2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$a_{11} = 0 + 12$

Passaggio 2.1.2.2.2

Somma $0$ e $12$ .

$a_{11} = 12$

Passaggio 2.2

Calcola il minore per l'elemento $a_{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Moltiplica $0$ per $1$ .

$a_{12} = 0 - 2 \cdot 3$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$a_{12} = 0 - 6$

Passaggio 2.2.2.2.2

Sottrai $6$ da $0$ .

$a_{12} = - 6$

Passaggio 2.3

Calcola il minore per l'elemento $a_{13}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Il minore per $a_{13}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 1 \cdot - 4 - 2 \cdot 6$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$a_{13} = - 4 - 2 \cdot 6$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$a_{13} = - 4 - 12$

Passaggio 2.3.2.2.2

Sottrai $12$ da $- 4$ .

$a_{13} = - 16$

Passaggio 2.4

Calcola il minore per l'elemento $a_{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Il minore per $a_{21}$ è il determinante con riga $2$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 4 & 0 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 0 - (- 4 \cdot - 1)$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$a_{21} = 0 - (- 4 \cdot - 1)$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Moltiplica $- (- 4 \cdot - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$a_{21} = 0 - 1 \cdot 4$

Passaggio 2.4.2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$a_{21} = 0 - 4$

Passaggio 2.4.2.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$a_{21} = - 4$

Passaggio 2.5

Calcola il minore per l'elemento $a_{22}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Il minore per $a_{22}$ è il determinante con riga $2$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Passaggio 2.5.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 3 \cdot 0 - 2 \cdot - 1$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$a_{22} = 0 - 2 \cdot - 1$

Passaggio 2.5.2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$a_{22} = 0 + 2$

Passaggio 2.5.2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$a_{22} = 2$

Passaggio 2.6

Calcola il minore per l'elemento $a_{23}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Il minore per $a_{23}$ è il determinante con riga $2$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.6.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 3 \cdot - 4 - 2 \cdot 2$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$a_{23} = - 12 - 2 \cdot 2$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$a_{23} = - 12 - 4$

Passaggio 2.6.2.2.2

Sottrai $4$ da $- 12$ .

$a_{23} = - 16$

Passaggio 2.7

Calcola il minore per l'elemento $a_{31}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Il minore per $a_{31}$ è il determinante con riga $3$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 6 & 3 \end{array} |$

Passaggio 2.7.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 3 - 6 \cdot - 1$

Passaggio 2.7.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$a_{31} = 6 - 6 \cdot - 1$

Passaggio 2.7.2.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$a_{31} = 6 + 6$

Passaggio 2.7.2.2.2

Somma $6$ e $6$ .

$a_{31} = 12$

Passaggio 2.8

Calcola il minore per l'elemento $a_{32}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Il minore per $a_{32}$ è il determinante con riga $3$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 2.8.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.8.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$a_{32} = 9 - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.8.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a_{32} = 9 + 1$

Passaggio 2.8.2.2.2

Somma $9$ e $1$ .

$a_{32} = 10$

Passaggio 2.9

Calcola il minore per l'elemento $a_{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Il minore per $a_{33}$ è il determinante con riga $3$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.9.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 3 \cdot 6 - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.9.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $6$ .

$a_{33} = 18 - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.9.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$a_{33} = 18 - 2$

Passaggio 2.9.2.2.2

Sottrai $2$ da $18$ .

$a_{33} = 16$

Passaggio 2.10

La matrice dei cofattori è una matrice dei minori con il segno cambiato per gli elementi nelle posizioni $-$ sul grafico dei segni.

$[\begin{array}{c} 12 & 6 & - 16 \\ 4 & 2 & 16 \\ 12 & - 10 & 16 \end{array}]$

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