Esempi

$4 x - y = 2$ ,

$6 x - 2 y = - 1$

Passaggio 1

Per determinare l'intersezione di una retta passante per il punto

$(p, q, r)$ e perpendicolare al piano

$P_{1}$

$a x + b y + c z = d$ e al piano

$P_{2}$

$e x + f y + g z = h$ :

1. Trova i vettori normali del piano

$P_{1}$ e del piano

$P_{2}$ , dove i vettori normali sono

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifica se il prodotto scalare è 0.

2. Crea una serie di equazioni parametriche tale che

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ e

$z = r + c t$ .

3. Sostituisci queste equazioni nell'equazione del piano

$P_{2}$ in modo tale che

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ e risolvi per

$t$ .

4. usando il valore di

$t$ , risolvi le equazioni parametriche

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ e

$z = r + c t$ per

$t$ per trovare l'intersezione

$(x, y, z)$ .

Passaggio 2

Trova i vettori normali per ciascun piano e determina se sono perpendicolari calcolando il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$P_{1}$ è

$4 x - y = 2$ . Calcola il vettore normale

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dall'equazione del piano della forma

$a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

Passaggio 2.2

$P_{2}$ è

$6 x - 2 y = - 1$ . Calcola il vettore normale

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dall'equazione del piano della forma

$e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 6, - 2, 0 ⟩$

Passaggio 2.3

Calcola il prodotto scalare di

$n_{1}$ e

$n_{2}$ sommando i prodotti dei corrispondenti valori

$x$ ,

$y$ e

$z$ nei vettori normali.

$4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Passaggio 2.4

Semplifica il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Rimuovi le parentesi.

$4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Passaggio 2.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica

$4$ per

$6$ .

$24 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 2$ .

$24 + 2 + 0 \cdot 0$

Passaggio 2.4.2.3

Moltiplica

$0$ per

$0$ .

$24 + 2 + 0$

Passaggio 2.4.3

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Somma

$24$ e

$2$ .

$26 + 0$

Passaggio 2.4.3.2

Somma

$26$ e

$0$ .

$26$

Passaggio 3

Quindi costruisci una serie di equazioni parametriche

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ e

$z = r + c t$ usando l'origine

$(0, 0, 0)$ per il punto

$(p, q, r)$ e i valori del vettore normale

$26$ per i valori di

$a$ ,

$b$ e

$c$ . Questa serie di equazioni parametriche rappresenta la retta attraverso l'origine perpendicolare a

$P_{1}$

$4 x - y = 2$ .

$x = 0 + 4 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Passaggio 4

Sostituisci l'espressione a

$x$ ,

$y$ e

$z$ nell'equazione per

$P_{2}$

$6 x - 2 y = - 1$ .

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per

$t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Combina i termini opposti in

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Somma

$0$ e

$4 \cdot t$ .

$6 (4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1$

Passaggio 5.1.1.2

Sottrai

$1 \cdot t$ da

$0$ .

$6 (4 \cdot t) - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

Passaggio 5.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Moltiplica

$4$ per

$6$ .

$24 t - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

Passaggio 5.1.2.2

Riscrivi

$- 1 t$ come

$- t$ .

$24 t - 2 (- t) = - 1$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica

$- 1$ per

$- 2$ .

$24 t + 2 t = - 1$

Passaggio 5.1.3

Somma

$24 t$ e

$2 t$ .

$26 t = - 1$

Passaggio 5.2

Dividi per

$26$ ciascun termine in

$26 t = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per

$26$ ciascun termine in

$26 t = - 1$ .

$\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$26$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi

$t$ per

$1$ .

$t = \frac{- 1}{26}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t = - \frac{1}{26}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione parametrica per

$x$ ,

$y$ e

$z$ usando il valore di

$t$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Risolvi l'equazione per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 0 + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

Passaggio 6.1.2

Rimuovi le parentesi.

$x = 0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})$

Passaggio 6.1.3

Semplifica

$0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di

$- \frac{1}{26}$ nel numeratore.

$x = 0 + 4 \cdot \frac{- 1}{26}$

Passaggio 6.1.3.1.1.2

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$x = 0 + 2 (2) \cdot \frac{- 1}{26}$

Passaggio 6.1.3.1.1.3

Scomponi

$2$ da

$26$ .

$x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}$

Passaggio 6.1.3.1.1.4

Elimina il fattore comune.

$x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}$

Passaggio 6.1.3.1.1.5

Riscrivi l'espressione.

$x = 0 + 2 \cdot \frac{- 1}{13}$

Passaggio 6.1.3.1.2

$2$ e

$\frac{- 1}{13}$ .

$x = 0 + \frac{2 \cdot - 1}{13}$

Passaggio 6.1.3.1.3

Moltiplica

$2$ per

$- 1$ .

$x = 0 + \frac{- 2}{13}$

Passaggio 6.1.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = 0 - \frac{2}{13}$

Passaggio 6.1.3.2

Sottrai

$\frac{2}{13}$ da

$0$ .

$x = - \frac{2}{13}$

Passaggio 6.2

Risolvi l'equazione per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

Passaggio 6.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})$

Passaggio 6.2.3

Semplifica

$0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica

$- 1 (- \frac{1}{26})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$y = 0 + 1 (\frac{1}{26})$

Passaggio 6.2.3.1.2

Moltiplica

$\frac{1}{26}$ per

$1$ .

$y = 0 + \frac{1}{26}$

Passaggio 6.2.3.2

Somma

$0$ e

$\frac{1}{26}$ .

$y = \frac{1}{26}$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per

$z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Rimuovi le parentesi.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

Passaggio 6.3.2

Rimuovi le parentesi.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})$

Passaggio 6.3.3

Semplifica

$0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica

$0 (- \frac{1}{26})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{1}{26})$

Passaggio 6.3.3.1.2

Moltiplica

$0$ per

$\frac{1}{26}$ .

$z = 0 + 0$

Passaggio 6.3.3.2

Somma

$0$ e

$0$ .

$z = 0$

Passaggio 6.4

Le equazioni parametriche risolte per

$x$ ,

$y$ e

$z$ .

$x = - \frac{2}{13}$

$y = \frac{1}{26}$

$z = 0$

$x = - \frac{2}{13}$

$y = \frac{1}{26}$

$z = 0$

Passaggio 7

Usando i valori calcolati per

$x$ ,

$y$ e

$z$ , il punto di intersezione risulta essere

$(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)$ .

$(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)$

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