Calcolo Esempi

$\int 6 {(2 x - 1)}^{- 3} d x$ , $u = 2 x - 1$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x - 1$ e $d u = 2 d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{3}{u^{3}} d u$

Passaggio 2

Poiché $3$ è costante rispetto a $u$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $u^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$3 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 \int u^{- 3} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 3}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

$u^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Passaggio 5.1.2

Sposta $u^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Passaggio 5.2

Semplifica.

$3 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Passaggio 5.3.2

$- 3$ e $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{- 3}{2 u^{2}} + C$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2 u^{2}} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 1$ .

$- \frac{3}{2 {(2 x - 1)}^{2}} + C$

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