Prakalkulus Contoh

$z^{4} = 81 i$

Langkah 1

Substitusikan $u$ untuk $z^{4}$ .

$u^{4} = 81 i$

Langkah 2

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 3

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = 0$ dan $b = 81$ .

$| z | = \sqrt{81^{2}}$

Langkah 5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = 81$

Langkah 6

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{81}{0})$

Langkah 7

Karena argumennya tidak terdefinisi dan $b$ positif, sudut dari titik pada bidang kompleksnya adalah $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Langkah 8

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = \frac{π}{2}$ dan $| z | = 81$ .

$81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 9

Ganti sisi kanan persamaan tersebut dengan bentuk trigonometri.

$u^{4} = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 10

Gunakan Teorema De Moivre untuk mencari persamaan untuk $u$ .

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = 81 i = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 11

Samakan modulus dari bentuk trigonometri ke $r^{4}$ untuk menemukan nilai dari $r$ .

$r^{4} = 81$

Langkah 12

Selesaikan persamaan untuk $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{81}$

Langkah 12.2

Sederhanakan $\pm \sqrt[4]{81}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Tulis kembali $81$ sebagai $3^{4}$ .

$r = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Langkah 12.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$r = \pm 3$

Langkah 12.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$r = 3$

Langkah 12.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$r = - 3$

Langkah 12.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$r = 3, - 3$

Langkah 13

Tentukan nilai perkiraan dari $r$ .

$r = 3$

Langkah 14

Temukan nilai yang memungkinkan dari $θ$ .

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ dan $s i n (4 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Langkah 15

Menemukan semua nilai $θ$ yang memungkinkan mengarah ke persamaan $4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Langkah 16

Temukan nilai dari $θ$ untuk $r = 0$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Langkah 17

Selesaikan persamaan untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Kalikan $2 π (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1.1

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Langkah 17.1.1.2

Kalikan $0$ dengan $π$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0$

Langkah 17.1.2

Tambahkan $\frac{π}{2}$ dan $0$ .

$4 θ = \frac{π}{2}$

Langkah 17.2

Bagi setiap suku pada $4 θ = \frac{π}{2}$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Bagilah setiap suku di $4 θ = \frac{π}{2}$ dengan $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Langkah 17.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Langkah 17.2.2.1.2

Bagilah $θ$ dengan $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Langkah 17.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Langkah 17.2.3.2

Kalikan $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Langkah 17.2.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$θ = \frac{π}{8}$

Langkah 18

Gunakan nilai $θ$ dan $r$ untuk menghitung penyelesaian untuk persamaan $u^{4} = 81 i$ .

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{π}{8}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Langkah 19

Konversikan penyelesaian ke bentuk persegi panjang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{8})$ adalah $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1.1

Tulis kembali $\frac{π}{8}$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Langkah 19.1.1.2

Terapkan identitas setengah sudut kosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{0} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Langkah 19.1.1.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ karena kosinus positif pada kuadran pertama.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Langkah 19.1.1.4

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Langkah 19.1.1.5

Sederhanakan $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1.5.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Langkah 19.1.1.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Langkah 19.1.1.5.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Langkah 19.1.1.5.4

Kalikan $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1.5.4.1

Kalikan $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Langkah 19.1.1.5.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Langkah 19.1.1.5.5

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Langkah 19.1.1.5.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1.5.6.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Langkah 19.1.1.5.6.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Langkah 19.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{8})$ adalah $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.2.1

Tulis kembali $\frac{π}{8}$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

Langkah 19.1.2.2

Terapkan identitas setengah sudut sinus.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Langkah 19.1.2.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ karena sinus positif di kuadran pertama.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Langkah 19.1.2.4

Sederhanakan $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.2.4.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Langkah 19.1.2.4.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Langkah 19.1.2.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Langkah 19.1.2.4.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Langkah 19.1.2.4.5

Kalikan $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.2.4.5.1

Kalikan $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Langkah 19.1.2.4.5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

Langkah 19.1.2.4.6

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Langkah 19.1.2.4.7

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.2.4.7.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Langkah 19.1.2.4.7.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Langkah 19.1.3

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Langkah 19.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Langkah 19.2.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Langkah 20

Substitusikan $z^{4}$ untuk $u$ untuk menghitung nilai $z$ setelah pergeseran ke kanan.

$z_{0} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Langkah 21

Temukan nilai dari $θ$ untuk $r = 1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Langkah 22

Selesaikan persamaan untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Langkah 22.1.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 22.1.3

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Langkah 22.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Langkah 22.1.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Langkah 22.1.6

Tambahkan $π$ dan $4 π$ .

$4 θ = \frac{5 π}{2}$

Langkah 22.2

Bagi setiap suku pada $4 θ = \frac{5 π}{2}$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.1

Bagilah setiap suku di $4 θ = \frac{5 π}{2}$ dengan $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Langkah 22.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Langkah 22.2.2.1.2

Bagilah $θ$ dengan $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Langkah 22.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Langkah 22.2.3.2

Kalikan $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.3.2.1

Kalikan $\frac{5 π}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 4}$

Langkah 22.2.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$θ = \frac{5 π}{8}$

Langkah 23

Gunakan nilai $θ$ dan $r$ untuk menghitung penyelesaian untuk persamaan $u^{4} = 81 i$ .

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{5 π}{8}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 24

Konversikan penyelesaian ke bentuk persegi panjang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{5 π}{8})$ adalah $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1.1.1

Tulis kembali $\frac{5 π}{8}$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 24.1.1.2

Terapkan identitas setengah sudut kosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{1} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 24.1.1.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 24.1.1.4

Sederhanakan $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1.1.4.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 24.1.1.4.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 24.1.1.4.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 24.1.1.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 24.1.1.4.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 24.1.1.4.6

Kalikan $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1.1.4.6.1

Kalikan $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 24.1.1.4.6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 24.1.1.4.7

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 24.1.1.4.8

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1.1.4.8.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 24.1.1.4.8.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 24.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{5 π}{8})$ adalah $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1.2.1

Tulis kembali $\frac{5 π}{8}$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}))$

Langkah 24.1.2.2

Terapkan identitas setengah sudut sinus.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Langkah 24.1.2.3

Ubahlah $\pm$ menjadi $+$ karena sinus positif di kuadran kedua.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

Langkah 24.1.2.4

Sederhanakan $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1.2.4.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Langkah 24.1.2.4.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Langkah 24.1.2.4.3

Kalikan $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1.2.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})$

Langkah 24.1.2.4.3.2

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $1$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Langkah 24.1.2.4.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Langkah 24.1.2.4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Langkah 24.1.2.4.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Langkah 24.1.2.4.7

Kalikan $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1.2.4.7.1

Kalikan $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Langkah 24.1.2.4.7.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

Langkah 24.1.2.4.8

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Langkah 24.1.2.4.9

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1.2.4.9.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Langkah 24.1.2.4.9.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Langkah 24.1.3

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Langkah 24.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{1} = 3 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Langkah 24.2.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Langkah 24.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Langkah 24.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $i \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Langkah 24.2.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Langkah 24.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.6.1

Tulis kembali $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ sebagai $- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

$u_{1} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Langkah 24.2.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Langkah 25

Substitusikan $z^{4}$ untuk $u$ untuk menghitung nilai $z$ setelah pergeseran ke kanan.

$z_{1} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Langkah 26

Temukan nilai dari $θ$ untuk $r = 2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Langkah 27

Selesaikan persamaan untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.1.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Langkah 27.1.2

Untuk menuliskan $4 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 27.1.3

Gabungkan $4 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Langkah 27.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Langkah 27.1.5

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$4 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Langkah 27.1.6

Tambahkan $π$ dan $8 π$ .

$4 θ = \frac{9 π}{2}$

Langkah 27.2

Bagi setiap suku pada $4 θ = \frac{9 π}{2}$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1

Bagilah setiap suku di $4 θ = \frac{9 π}{2}$ dengan $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Langkah 27.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Langkah 27.2.2.1.2

Bagilah $θ$ dengan $1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Langkah 27.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Langkah 27.2.3.2

Kalikan $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.3.2.1

Kalikan $\frac{9 π}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{9 π}{2 \cdot 4}$

Langkah 27.2.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$θ = \frac{9 π}{8}$

Langkah 28

Gunakan nilai $θ$ dan $r$ untuk menghitung penyelesaian untuk persamaan $u^{4} = 81 i$ .

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{9 π}{8}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Langkah 29

Konversikan penyelesaian ke bentuk persegi panjang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{9 π}{8})$ adalah $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.1.1.1

Tulis kembali $\frac{9 π}{8}$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Langkah 29.1.1.2

Terapkan identitas setengah sudut kosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{2} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Langkah 29.1.1.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Langkah 29.1.1.4

Sederhanakan $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.1.1.4.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Langkah 29.1.1.4.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Langkah 29.1.1.4.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Langkah 29.1.1.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Langkah 29.1.1.4.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Langkah 29.1.1.4.6

Kalikan $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.1.1.4.6.1

Kalikan $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Langkah 29.1.1.4.6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Langkah 29.1.1.4.7

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Langkah 29.1.1.4.8

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.1.1.4.8.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Langkah 29.1.1.4.8.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Langkah 29.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{9 π}{8})$ adalah $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.1.2.1

Tulis kembali $\frac{9 π}{8}$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}))$

Langkah 29.1.2.2

Terapkan identitas setengah sudut sinus.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Langkah 29.1.2.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Langkah 29.1.2.4

Sederhanakan $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.1.2.4.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Langkah 29.1.2.4.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Langkah 29.1.2.4.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Langkah 29.1.2.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Langkah 29.1.2.4.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Langkah 29.1.2.4.6

Kalikan $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.1.2.4.6.1

Kalikan $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Langkah 29.1.2.4.6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}))$

Langkah 29.1.2.4.7

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Langkah 29.1.2.4.8

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.1.2.4.8.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Langkah 29.1.2.4.8.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Langkah 29.1.3

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Langkah 29.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{2} = 3 (\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Langkah 29.2.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Langkah 29.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Langkah 29.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- i \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Langkah 29.2.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Langkah 29.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.2.6.1

Tulis kembali $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ sebagai $- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

$u_{2} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Langkah 29.2.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Langkah 30

Substitusikan $z^{4}$ untuk $u$ untuk menghitung nilai $z$ setelah pergeseran ke kanan.

$z_{2} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Langkah 31

Temukan nilai dari $θ$ untuk $r = 3$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (3)$

Langkah 32

Selesaikan persamaan untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 32.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 32.1.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π$

Langkah 32.1.2

Untuk menuliskan $6 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 32.1.3

Gabungkan $6 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{2}$

Langkah 32.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 θ = \frac{π + 6 π \cdot 2}{2}$

Langkah 32.1.5

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$4 θ = \frac{π + 12 π}{2}$

Langkah 32.1.6

Tambahkan $π$ dan $12 π$ .

$4 θ = \frac{13 π}{2}$

Langkah 32.2

Bagi setiap suku pada $4 θ = \frac{13 π}{2}$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 32.2.1

Bagilah setiap suku di $4 θ = \frac{13 π}{2}$ dengan $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Langkah 32.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 32.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 32.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Langkah 32.2.2.1.2

Bagilah $θ$ dengan $1$ .

$θ = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Langkah 32.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 32.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$θ = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Langkah 32.2.3.2

Kalikan $\frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 32.2.3.2.1

Kalikan $\frac{13 π}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{13 π}{2 \cdot 4}$

Langkah 32.2.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$θ = \frac{13 π}{8}$

Langkah 33

Gunakan nilai $θ$ dan $r$ untuk menghitung penyelesaian untuk persamaan $u^{4} = 81 i$ .

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{13 π}{8}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Langkah 34

Konversikan penyelesaian ke bentuk persegi panjang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{13 π}{8})$ adalah $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.1.1.1

Tulis kembali $\frac{13 π}{8}$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Langkah 34.1.1.2

Terapkan identitas setengah sudut kosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{3} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Langkah 34.1.1.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ karena kosinus positif di kuadran keempat.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Langkah 34.1.1.4

Sederhanakan $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.1.1.4.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Langkah 34.1.1.4.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Langkah 34.1.1.4.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Langkah 34.1.1.4.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Langkah 34.1.1.4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Langkah 34.1.1.4.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Langkah 34.1.1.4.7

Kalikan $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.1.1.4.7.1

Kalikan $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Langkah 34.1.1.4.7.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Langkah 34.1.1.4.8

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Langkah 34.1.1.4.9

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.1.1.4.9.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Langkah 34.1.1.4.9.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Langkah 34.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{13 π}{8})$ adalah $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.1.2.1

Tulis kembali $\frac{13 π}{8}$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

Langkah 34.1.2.2

Terapkan identitas setengah sudut sinus.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Langkah 34.1.2.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ karena sinus negatif di kuadran keempat.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Langkah 34.1.2.4

Sederhanakan $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.1.2.4.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Langkah 34.1.2.4.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Langkah 34.1.2.4.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Langkah 34.1.2.4.4

Kalikan $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.1.2.4.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}))$

Langkah 34.1.2.4.4.2

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $1$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Langkah 34.1.2.4.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Langkah 34.1.2.4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Langkah 34.1.2.4.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Langkah 34.1.2.4.8

Kalikan $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.1.2.4.8.1

Kalikan $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Langkah 34.1.2.4.8.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}))$

Langkah 34.1.2.4.9

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Langkah 34.1.2.4.10

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.1.2.4.10.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Langkah 34.1.2.4.10.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Langkah 34.1.3

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Langkah 34.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Langkah 34.2.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Langkah 35

Substitusikan $z^{4}$ untuk $u$ untuk menghitung nilai $z$ setelah pergeseran ke kanan.

$z_{3} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Langkah 36

Ini adalah penyelesaian kompleks untuk $u^{4} = 81 i$ .

$z_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

$z_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$