Prakalkulus Contoh

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{(5) \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

Langkah 1.2

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $i$ .

$- \frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i}{2}$

Langkah 2

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 3

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = - \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ dan $b = \frac{5}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Langkah 5

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Langkah 5.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Langkah 5.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Langkah 5.4

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Langkah 5.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})}$

Langkah 5.4.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Langkah 5.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + 1 (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Langkah 5.5.2

Kalikan $\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 5.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 5.6.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 5.6.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Langkah 5.6.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Langkah 5.6.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Langkah 5.6.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

Langkah 5.6.2.5

Evaluasi eksponennya.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

Langkah 5.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{4}}$

Langkah 5.7.2

Kalikan $25$ dengan $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{75}{4}}$

Langkah 5.7.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$| z | = \sqrt{\frac{25 + 75}{4}}$

Langkah 5.7.4

Tambahkan $25$ dan $75$ .

$| z | = \sqrt{\frac{100}{4}}$

Langkah 5.7.5

Bagilah $100$ dengan $4$ .

$| z | = \sqrt{25}$

Langkah 5.7.6

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$| z | = \sqrt{5^{2}}$

Langkah 5.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = 5$

Langkah 6

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}})$

Langkah 7

Karena tangen balikan $\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}}$ menghasilkan sudut di kuadran kedua, nilai dari sudut tersebut adalah $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Langkah 8

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = \frac{5 π}{6}$ dan $| z | = 5$ .

$5 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$