Prakalkulus Contoh

${(3 + 3 i)}^{5}$

Langkah 1

Gunakan Teorema Binomial.

$3^{5} + 5 \cdot 3^{4} (3 i) + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $5$ .

$243 + 5 \cdot 3^{4} (3 i) + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.2

Kalikan $3^{4}$ dengan $3$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Pindahkan $3$ .

$243 + 5 \cdot (3 \cdot 3^{4}) i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $3^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $1$ .

$243 + 5 \cdot (3^{1} \cdot 3^{4}) i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$243 + 5 \cdot 3^{1 + 4} i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$243 + 5 \cdot 3^{5} i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $5$ .

$243 + 5 \cdot 243 i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.4

Kalikan $5$ dengan $243$ .

$243 + 1215 i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$243 + 1215 i + 10 \cdot 27 {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.6

Kalikan $10$ dengan $27$ .

$243 + 1215 i + 270 {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.7

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 i$ .

$243 + 1215 i + 270 (3^{2} i^{2}) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.8

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$243 + 1215 i + 270 (9 i^{2}) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.9

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$243 + 1215 i + 270 (9 \cdot - 1) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.10

Kalikan $270 (9 \cdot - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.10.1

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$243 + 1215 i + 270 \cdot - 9 + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.10.2

Kalikan $270$ dengan $- 9$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.11

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 10 \cdot 9 {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.12

Kalikan $10$ dengan $9$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.13

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 i$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (3^{3} i^{3}) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.14

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 i^{3}) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.15

Faktorkan $i^{2}$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.16

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.17

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (- i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.18

Kalikan $- 1$ dengan $27$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (- 27 i) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.19

Kalikan $- 27$ dengan $90$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.20

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.21

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 i$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (3^{4} i^{4}) + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.22

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 i^{4}) + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.23

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.23.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 {(i^{2})}^{2}) + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.23.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 {(- 1)}^{2}) + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.23.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 \cdot 1) + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.24

Kalikan $15 (81 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.24.1

Kalikan $81$ dengan $1$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 \cdot 81 + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.24.2

Kalikan $15$ dengan $81$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + {(3 i)}^{5}$

Langkah 2.1.25

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 i$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 3^{5} i^{5}$

Langkah 2.1.26

Naikkan $3$ menjadi pangkat $5$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 i^{5}$

Langkah 2.1.27

Faktorkan $i^{4}$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 (i^{4} i)$

Langkah 2.1.28

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.28.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Langkah 2.1.28.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Langkah 2.1.28.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 (1 i)$

Langkah 2.1.29

Kalikan $i$ dengan $1$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 i$

Langkah 2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $2430$ dengan $243$ .

$- 2187 + 1215 i - 2430 i + 1215 + 243 i$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $- 2187$ dan $1215$ .

$- 972 + 1215 i - 2430 i + 243 i$

Langkah 2.2.3

Kurangi $2430 i$ dengan $1215 i$ .

$- 972 - 1215 i + 243 i$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $- 1215 i$ dan $243 i$ .

$- 972 - 972 i$

Langkah 3

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 4

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = - 972$ dan $b = - 972$ .

$| z | = \sqrt{{(- 972)}^{2} + {(- 972)}^{2}}$

Langkah 6

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Naikkan $- 972$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{944784 + {(- 972)}^{2}}$

Langkah 6.2

Naikkan $- 972$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{944784 + 944784}$

Langkah 6.3

Tambahkan $944784$ dan $944784$ .

$| z | = \sqrt{1889568}$

Langkah 6.4

Tulis kembali $1889568$ sebagai $972^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $944784$ dari $1889568$ .

$| z | = \sqrt{944784 (2)}$

Langkah 6.4.2

Tulis kembali $944784$ sebagai $972^{2}$ .

$| z | = \sqrt{972^{2} \cdot 2}$

Langkah 6.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| z | = 972 \sqrt{2}$

Langkah 7

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{- 972}{- 972})$

Langkah 8

Karena tangen balikan $\frac{- 972}{- 972}$ menghasilkan sudut di kuadran ketiga, nilai dari sudut tersebut adalah $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Langkah 9

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = \frac{5 π}{4}$ dan $| z | = 972 \sqrt{2}$ .

$972 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$