Prakalkulus Contoh

$r = 3 + 2 \sin (θ)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 + 2 \sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\frac{d}{d θ} [3] + \frac{d}{d θ} [2 \sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [3] + \frac{d}{d θ} [2 \sin (θ)]$

Langkah 1.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $3$ terhadap $θ$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d θ} [2 \sin (θ)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d θ} [2 \sin (θ)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $2 \sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\cos (θ)$ .

$0 + 2 \cos (θ)$

Langkah 1.3

Tambahkan $0$ dan $2 \cos (θ)$ .

$2 \cos (θ)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $2$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $2 \cos (θ)$ terhadap $θ$ adalah $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$f'' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Langkah 2.2

Turunan dari $\cos (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = 2 (- \sin (θ))$

Langkah 2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (θ) = - 2 \sin (θ)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$2 \cos (θ) = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $2 \cos (θ) = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (θ) = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $\cos (θ)$ dengan $1$ .

$\cos (θ) = \frac{0}{2}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$\cos (θ) = 0$

Langkah 5

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$θ = \arccos (0)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Langkah 7

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 8

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 8.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 8.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 8.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Langkah 9

Penyelesaian untuk persamaan $θ = \frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $θ = \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 11.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 12

$θ = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$θ = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $θ = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $θ$ dengan $\frac{π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 2 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 2 \cdot 1$

Langkah 13.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 2$

Langkah 13.2.2

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5$

Langkah 13.2.3

Jawaban akhirnya adalah $5$ .

$y = 5$

Langkah 14

Evaluasi turunan kedua pada $θ = \frac{3 π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 15

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 15.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 15.3

Kalikan $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Langkah 15.3.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2$

Langkah 16

$θ = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$θ = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 17

Tentukan nilai y ketika $θ = \frac{3 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti variabel $θ$ dengan $\frac{3 π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 17.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 17.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 2 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 17.2.1.3

Kalikan $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 2 \cdot - 1$

Langkah 17.2.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 - 2$

Langkah 17.2.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 1$

Langkah 17.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 18

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (θ) = 3 + 2 \sin (θ)$ .

$(\frac{π}{2}, 5)$ adalah maksimum lokal

$(\frac{3 π}{2}, 1)$ adalah minimum lokal

Langkah 19