Prakalkulus Contoh

$8 z^{3} - 125 = 0$

Langkah 1

Tambahkan $125$ ke kedua sisi persamaan.

$8 z^{3} = 125$

Langkah 2

Kurangkan $125$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$8 z^{3} - 125 = 0$

Langkah 3

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali $8 z^{3}$ sebagai ${(2 z)}^{3}$ .

${(2 z)}^{3} - 125 = 0$

Langkah 3.2

Tulis kembali $125$ sebagai $5^{3}$ .

${(2 z)}^{3} - 5^{3} = 0$

Langkah 3.3

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = 2 z$ dan $b = 5$ .

$(2 z - 5) ({(2 z)}^{2} + 2 z \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 z$ .

$(2 z - 5) (2^{2} z^{2} + 2 z \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Langkah 3.4.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$(2 z - 5) (4 z^{2} + 2 z \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Langkah 3.4.3

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$(2 z - 5) (4 z^{2} + 10 z + 5^{2}) = 0$

Langkah 3.4.4

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$(2 z - 5) (4 z^{2} + 10 z + 25) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 z - 5 = 0$

$4 z^{2} + 10 z + 25 = 0$

Langkah 5

Atur $2 z - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $2 z - 5$ sama dengan $0$ .

$2 z - 5 = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $2 z - 5 = 0$ untuk $z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$2 z = 5$

Langkah 5.2.2

Bagi setiap suku pada $2 z = 5$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 z = 5$ dengan $2$ .

$\frac{2 z}{2} = \frac{5}{2}$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 z}{2} = \frac{5}{2}$

Langkah 5.2.2.2.1.2

Bagilah $z$ dengan $1$ .

$z = \frac{5}{2}$

Langkah 6

Atur $4 z^{2} + 10 z + 25$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $4 z^{2} + 10 z + 25$ sama dengan $0$ .

$4 z^{2} + 10 z + 25 = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $4 z^{2} + 10 z + 25 = 0$ untuk $z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 6.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 4$ , $b = 10$ , dan $c = 25$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $z$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 25)}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.1

Naikkan $10$ menjadi pangkat $2$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 4 \cdot 25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 16 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.2.2

Kalikan $- 16$ dengan $25$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.3

Kurangi $400$ dengan $100$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.4

Tulis kembali $- 300$ sebagai $- 1 (300)$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (300)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$z = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.7

Tulis kembali $300$ sebagai $10^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.7.1

Faktorkan $100$ dari $300$ .

$z = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.7.2

Tulis kembali $100$ sebagai $10^{2}$ .

$z = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$z = \frac{- 10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.9

Pindahkan $10$ ke sebelah kiri $i$ .

$z = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$z = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{8}$

Langkah 6.2.3.3

Sederhanakan $\frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{8}$ .

$z = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{4}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$z = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{4}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{4}$

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 z - 5) (4 z^{2} + 10 z + 25) = 0$ benar.

$z = \frac{5}{2}, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{4}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{4}$