Prakalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{2 x - 1} - 1}$

Langkah 1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{\frac{x}{2 x - 1} - 1}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\frac{x}{2 x - 1} - 1 \geq 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\frac{x}{2 x - 1} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x}{2 x - 1} - 1 \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x}{2 x - 1} + \frac{- (2 x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Langkah 2.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x - (2 x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x - (2 x) - - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Langkah 2.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{x - 2 x + 1}{2 x - 1} \geq 0$

Langkah 2.1.3.4

Kurangi $2 x$ dengan $x$ .

$\frac{- x + 1}{2 x - 1} \geq 0$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{- (x) + 1}{2 x - 1} \geq 0$

Langkah 2.1.4.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Langkah 2.1.4.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Langkah 2.1.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.4.1

Tulis kembali $- (x - 1)$ sebagai $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Langkah 2.1.4.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Langkah 2.2

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x - 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Langkah 2.3

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.4

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 1$

Langkah 2.5

Bagi setiap suku pada $2 x = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.5.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 2.6

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 2.7

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = 1, \frac{1}{2}$

Langkah 2.8

Tentukan domain dari $\frac{x}{2 x - 1} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Atur penyebut dalam $\frac{x}{2 x - 1}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$2 x - 1 = 0$

Langkah 2.8.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 1$

Langkah 2.8.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.8.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.8.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 2.8.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Langkah 2.9

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

Langkah 2.10

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Uji nilai pada interval $x < \frac{1}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1.1

Pilih nilai pada interval $x < \frac{1}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 2.10.1.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{0}{2 (0) - 1} - 1 \geq 0$

Langkah 2.10.1.3

Sisi kiri $- 1$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 2.10.2

Uji nilai pada interval $\frac{1}{2} < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1

Pilih nilai pada interval $\frac{1}{2} < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0.75$

Langkah 2.10.2.2

Ganti $x$ dengan $0.75$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{0.75}{2 (0.75) - 1} - 1 \geq 0$

Langkah 2.10.2.3

Sisi kiri $0.5$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 2.10.3

Uji nilai pada interval $x > 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 2.10.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{4}{2 (4) - 1} - 1 \geq 0$

Langkah 2.10.3.3

Sisi kiri $- 0.\overline{428571}$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 2.10.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < \frac{1}{2}$ Salah

$\frac{1}{2} < x < 1$ Benar

$x > 1$ Salah

$x < \frac{1}{2}$ Salah

$\frac{1}{2} < x < 1$ Benar

$x > 1$ Salah

Langkah 2.11

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$\frac{1}{2} < x \leq 1$

Langkah 3

Atur penyebut dalam $\frac{x}{2 x - 1}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$2 x - 1 = 0$

Langkah 4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 1$

Langkah 4.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 4.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(\frac{1}{2}, 1]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | \frac{1}{2} < x \leq 1}$

Langkah 6