Prakalkulus Contoh

$\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = 1 + \cos (θ)$

Langkah 1

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - 1 = \cos (θ)$

Langkah 1.2

Kurangkan $\cos (θ)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - 1 - \cos (θ) = 0$

Langkah 2

Sederhanakan $\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - 1 - \cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan $- 1$ .

$\sin^{2} (θ) - 1 - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Langkah 2.2

Susun kembali $\sin^{2} (θ)$ dan $- 1$ .

$- 1 + \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Langkah 2.3

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Langkah 2.4

Faktorkan $- 1$ dari $\sin^{2} (θ)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Langkah 2.5

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (θ))$ .

$- 1 (1 - \sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Langkah 2.6

Tulis kembali $- 1 (1 - \sin^{2} (θ))$ sebagai $- (1 - \sin^{2} (θ))$ .

$- (1 - \sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Langkah 2.7

Terapkan identitas pythagoras.

$- \cos^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Langkah 2.8

Kurangi $\cos^{2} (θ)$ dengan $- \cos^{2} (θ)$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Langkah 3

Faktorkan $- \cos (θ)$ dari $- 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $- \cos (θ)$ dari $- 2 \cos^{2} (θ)$ .

$- \cos (θ) (2 \cos (θ)) - \cos (θ) = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $- \cos (θ)$ dari $- \cos (θ)$ .

$- \cos (θ) (2 \cos (θ)) - \cos (θ) \cdot 1 = 0$

Langkah 3.3

Faktorkan $- \cos (θ)$ dari $- \cos (θ) (2 \cos (θ)) - \cos (θ) \cdot 1$ .

$- \cos (θ) (2 \cos (θ) + 1) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$2 \cos (θ) + 1 = 0$

Langkah 5

Atur $\cos (θ)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $\cos (θ)$ sama dengan $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $\cos (θ) = 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$θ = \arccos (0)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 5.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 5.2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Langkah 5.2.5

Tentukan periode dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 5.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 5.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 5.2.6

Periode dari fungsi $\cos (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Atur $2 \cos (θ) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $2 \cos (θ) + 1$ sama dengan $0$ .

$2 \cos (θ) + 1 = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $2 \cos (θ) + 1 = 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \cos (θ) = - 1$

Langkah 6.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \cos (θ) = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (θ) = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 6.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (θ)$ dengan $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 6.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (- \frac{1}{2})$ adalah $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Langkah 6.2.5

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Langkah 6.2.6

Sederhanakan $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.6.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 6.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.6.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 6.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Langkah 6.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.6.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Langkah 6.2.6.3.2

Kurangi $2 π$ dengan $6 π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Langkah 6.2.7

Tentukan periode dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 6.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 6.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 6.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 6.2.8

Periode dari fungsi $\cos (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- \cos (θ) (2 \cos (θ) + 1) = 0$ benar.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$