Prakalkulus Contoh

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

Langkah 1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

Langkah 2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan $- 2 \log_{3} (x - 1)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\log_{3} (x + 1) - \log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 1$

Langkah 2.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$

Langkah 3

Tulis kembali $\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan definisi logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b$ $\neq$ $1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 4

Kalikan silang untuk menghilangkan pecahan.

$x + 1 = 3 ({(x - 1)}^{2})$

Langkah 5

Sederhanakan $3 ({(x - 1)}^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali ${(x - 1)}^{2}$ sebagai $(x - 1) (x - 1)$ .

$x + 1 = 3 ((x - 1) (x - 1))$

Langkah 5.2

Perluas $(x - 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan sifat distributif.

$x + 1 = 3 (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Langkah 5.2.2

Terapkan sifat distributif.

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Langkah 5.2.3

Terapkan sifat distributif.

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Langkah 5.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Langkah 5.3.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Langkah 5.3.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Langkah 5.3.1.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Langkah 5.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x + 1)$

Langkah 5.3.2

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - 2 x + 1)$

Langkah 5.4

Terapkan sifat distributif.

$x + 1 = 3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 1$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3 \cdot 1$

Langkah 5.5.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3$

Langkah 6

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x + 1 - 3 x^{2} = - 6 x + 3$

Langkah 6.2

Tambahkan $6 x$ ke kedua sisi persamaan.

$x + 1 - 3 x^{2} + 6 x = 3$

Langkah 6.3

Tambahkan $x$ dan $6 x$ .

$7 x + 1 - 3 x^{2} = 3$

Langkah 7

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$7 x - 3 x^{2} = 3 - 1$

Langkah 7.2

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$7 x - 3 x^{2} = 2$

Langkah 8

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$7 x - 3 x^{2} - 2 = 0$

Langkah 9

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan $- 1$ dari $7 x - 3 x^{2} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Susun kembali $7 x$ dan $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 7 x - 2 = 0$

Langkah 9.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 7 x - 2 = 0$

Langkah 9.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $7 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 2 = 0$

Langkah 9.1.4

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Langkah 9.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{2}) - (- 7 x)$ .

$- (3 x^{2} - 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Langkah 9.1.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{2} - 7 x) - 1 (2)$ .

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

Langkah 9.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1.1

Faktorkan $- 7$ dari $- 7 x$ .

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

Langkah 9.2.1.1.2

Tulis kembali $- 7$ sebagai $- 1$ ditambah $- 6$

$- (3 x^{2} + (- 1 - 6) x + 2) = 0$

Langkah 9.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- (3 x^{2} - 1 x - 6 x + 2) = 0$

Langkah 9.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$- ((3 x^{2} - 1 x) - 6 x + 2) = 0$

Langkah 9.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$- (x (3 x - 1) - 2 (3 x - 1)) = 0$

Langkah 9.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x - 1$ .

$- ((3 x - 1) (x - 2)) = 0$

Langkah 9.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- (3 x - 1) (x - 2) = 0$

Langkah 10

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 11

Atur $3 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $3 x - 1$ sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Langkah 11.2

Selesaikan $3 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = 1$

Langkah 11.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 11.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 11.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Langkah 12

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 12.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 13

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- (3 x - 1) (x - 2) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{3}, 2$

Langkah 14

Meniadakan penyelesaian yang tidak membuat $\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$ benar.

$x = 2$