Prakalkulus Contoh

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{48} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{48} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 3$

$b = 4 \sqrt{3}$

$k = - 4$

$h = - 5$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(- 5, - 4)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{9 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{9 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 5.3.1.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{9 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{1}}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $16$ dengan $3$ .

$\sqrt{9 + 48}$

Langkah 5.3.3.2

Tambahkan $9$ dan $48$ .

$\sqrt{57}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 2, - 4)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 8, - 4)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(- 2, - 4), (- 8, - 4)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 5 + \sqrt{57}, - 4)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 5 - \sqrt{57}, - 4)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(- 5 + \sqrt{57}, - 4), (- 5 - \sqrt{57}, - 4)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}}{3}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}}{3}$

Langkah 8.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{3}$

Langkah 8.3.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}}{3}$

Langkah 8.3.4

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

Langkah 8.3.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

Langkah 8.3.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Langkah 8.3.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Langkah 8.3.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{1}}}{3}$

Langkah 8.3.4.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3}}{3}$

Langkah 8.3.5

Kalikan $16$ dengan $3$ .

$\frac{\sqrt{9 + 48}}{3}$

Langkah 8.3.6

Tambahkan $9$ dan $48$ .

$\frac{\sqrt{57}}{3}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{\sqrt{57}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{57}}$

Langkah 9.3.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{57}}$

Langkah 9.3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{57}}$

Langkah 9.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{57}}$

Langkah 9.3.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 \cdot 3^{1}}{\sqrt{57}}$

Langkah 9.3.1.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{4 \cdot 3}{\sqrt{57}}$

Langkah 9.3.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{12}{\sqrt{57}}$

Langkah 9.3.3

Kalikan $\frac{12}{\sqrt{57}}$ dengan $\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{57}}$ .

$\frac{12}{\sqrt{57}} \cdot \frac{\sqrt{57}}{\sqrt{57}}$

Langkah 9.3.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.1

Kalikan $\frac{12}{\sqrt{57}}$ dengan $\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{57}}$ .

$\frac{12 \sqrt{57}}{\sqrt{57} \sqrt{57}}$

Langkah 9.3.4.2

Naikkan $\sqrt{57}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{12 \sqrt{57}}{{\sqrt{57}}^{1} \sqrt{57}}$

Langkah 9.3.4.3

Naikkan $\sqrt{57}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{12 \sqrt{57}}{{\sqrt{57}}^{1} {\sqrt{57}}^{1}}$

Langkah 9.3.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{12 \sqrt{57}}{{\sqrt{57}}^{1 + 1}}$

Langkah 9.3.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{12 \sqrt{57}}{{\sqrt{57}}^{2}}$

Langkah 9.3.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{57}}^{2}$ sebagai $57$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{57}$ sebagai $57^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 \sqrt{57}}{{(57^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 9.3.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 \sqrt{57}}{57^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 9.3.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{12 \sqrt{57}}{57^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 \sqrt{57}}{57^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{12 \sqrt{57}}{57^{1}}$

Langkah 9.3.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{12 \sqrt{57}}{57}$

Langkah 9.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $57$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.5.1

Faktorkan $3$ dari $12 \sqrt{57}$ .

$\frac{3 (4 \sqrt{57})}{57}$

Langkah 9.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.5.2.1

Faktorkan $3$ dari $57$ .

$\frac{3 (4 \sqrt{57})}{3 (19)}$

Langkah 9.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (4 \sqrt{57})}{3 \cdot 19}$

Langkah 9.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 \sqrt{57}}{19}$

Langkah 10

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 5)) - 4$

Langkah 11

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 5)) - 4$

Langkah 11.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x + 5) - 4$

Langkah 11.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3} x + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5 - 4$

Langkah 11.2.3

Gabungkan $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ dan $x$ .

$y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5 - 4$

Langkah 11.2.4

Kalikan $\frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.4.1

Gabungkan $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ dan $5$ .

$y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 5}{3} - 4$

Langkah 11.2.4.2

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$

Langkah 12

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 5)) - 4$

Langkah 12.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$y = - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x + 5) - 4$

Langkah 12.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{4 \sqrt{3}}{3} x - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5 - 4$

Langkah 12.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5 - 4$

Langkah 12.2.4

Kalikan $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.1

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{3} - 5 \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 4$

Langkah 12.2.4.2

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 5 (4 \sqrt{3})}{3} - 4$

Langkah 12.2.4.3

Kalikan $4$ dengan $- 5$ .

$y = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 20 \sqrt{3}}{3} - 4$

Langkah 12.2.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{4 \cdot x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 20 \sqrt{3}}{3} - 4$

Langkah 12.2.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{4 x \sqrt{3}}{3} - \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4, y = - \frac{4 x \sqrt{3}}{3} - \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(- 5, - 4)$

Verteks: $(- 2, - 4), (- 8, - 4)$

Titik api: $(- 5 + \sqrt{57}, - 4), (- 5 - \sqrt{57}, - 4)$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{57}}{3}$

Parameter Fokus: $\frac{4 \sqrt{57}}{19}$

Asimtot: $y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$ , $y = - \frac{4 x \sqrt{3}}{3} - \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$

Langkah 15