Prakalkulus Contoh

$x^{2} - 2 y = 8 x - 10$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan dalam bentuk verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pisahkan $y$ ke sisi kiri persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 y = 8 x - 10 - x^{2}$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $- 2 y = 8 x - 10 - x^{2}$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 y = 8 x - 10 - x^{2}$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{8 x}{- 2} + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{8 x}{- 2} + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Langkah 1.1.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{8 x}{- 2} + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $8 x$ .

$y = \frac{2 (4 x)}{- 2} + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Langkah 1.1.2.3.1.1.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{4 x}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (4 x) + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (4 x)$ sebagai $- (4 x)$ .

$y = - (4 x) + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Langkah 1.1.2.3.1.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$y = - 4 x + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Langkah 1.1.2.3.1.4

Bagilah $- 10$ dengan $- 2$ .

$y = - 4 x + 5 + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Langkah 1.1.2.3.1.5

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$y = - 4 x + 5 + \frac{x^{2}}{2}$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $- 4 x + 5 + \frac{x^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pindahkan $5$ .

$- 4 x + \frac{x^{2}}{2} + 5$

Langkah 1.2.1.2

Susun kembali $- 4 x$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 4 x + 5$

Langkah 1.2.2

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 4$

$c = 5$

Langkah 1.2.3

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 (\frac{1}{2})}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Langkah 1.2.4.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 2}{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.2.4.2.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$d = - 2 \cdot 2$

Langkah 1.2.4.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$d = - 4$

Langkah 1.2.5

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Langkah 1.2.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1.1

Hapus faktor persekutuan dari ${(- 4)}^{2}$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1.1.1

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$e = 5 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Langkah 1.2.5.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 1 (4)$ .

$e = 5 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Langkah 1.2.5.2.1.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 5 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Langkah 1.2.5.2.1.1.4

Kalikan $4^{2}$ dengan $1$ .

$e = 5 - \frac{4^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Langkah 1.2.5.2.1.1.5

Faktorkan $4$ dari $4^{2}$ .

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{2})}$

Langkah 1.2.5.2.1.1.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{2})}$

Langkah 1.2.5.2.1.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e = 5 - \frac{4}{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.2.5.2.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$e = 5 - (4 \cdot 2)$

Langkah 1.2.5.2.1.3

Kalikan $- (4 \cdot 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1.3.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$e = 5 - 1 \cdot 8$

Langkah 1.2.5.2.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$e = 5 - 8$

Langkah 1.2.5.2.2

Kurangi $8$ dengan $5$ .

$e = - 3$

Langkah 1.2.6

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $\frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} - 3$ .

$\frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} - 3$

Langkah 1.3

Aturlah $y$ sama dengan sisi kanan yang baru.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{2} - 3$

Langkah 2

Gunakan bentuk directrix, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , untuk menentukan nilai dari $a$ , $h$ , dan $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = - 3$

Langkah 3

Karena nilai $a$ adalah positif, maka parabola membuka ke atas.

Membuka ke Atas

Langkah 4

Tentukan verteks $(h, k)$ .

$(4, - 3)$

Langkah 5

Temukan $p$ , jarak dari verteks ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari puncak ke fokus parabola menggunakan rumus berikut.

$\frac{1}{4 a}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai $a$ ke dalam rumusnya.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Langkah 5.3.2

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 6

Tentukan fokusnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Titik fokus parabola dapat ditentukan dengan menambahkan $p$ ke koordinat y $k$ jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$(h, k + p)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $p$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(4, - \frac{5}{2})$

Langkah 7

Tentukan sumbu simetri dengan menemukan garis yang melewati verteks dan titik fokus.

$x = 4$

Langkah 8

Tentukan direktriksnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Garis arah parabola adalah garis datar yang diperoleh dengan mengurangi $p$ dari koordinat y $k$ dari verteks jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$y = k - p$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $p$ dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$y = - \frac{7}{2}$

Langkah 9

Gunakan sifat-sifat parabola untuk menganalisis dan gambarkan parabolanya.

Arah: Membuka ke Atas

Verteks: $(4, - 3)$

Fokus: $(4, - \frac{5}{2})$

Sumbu Simetri: $x = 4$

Direktriks: $y = - \frac{7}{2}$

Langkah 10