Prakalkulus Contoh

$\sum_{n = 0}^{50} 5 {(\frac{3}{5})}^{n}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri berhingga dapat ditentukan menggunakan rumus $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{n}$ dan $a_{n + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{5 {(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{5 {(\frac{3}{5})}^{n}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{5 {(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{5 {(\frac{3}{5})}^{n}}$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{{(\frac{3}{5})}^{n}}$

Langkah 2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(\frac{3}{5})}^{n + 1}$ dan ${(\frac{3}{5})}^{n}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan ${(\frac{3}{5})}^{n}$ dari ${(\frac{3}{5})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n}}$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{\frac{3}{5}}{1}$

Langkah 2.2.2.2.4

Bagilah $\frac{3}{5}$ dengan $1$ .

$r = \frac{3}{5}$

Langkah 3

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $0$ untuk $n$ ke dalam $5 {(\frac{3}{5})}^{n}$ .

$a = 5 {(\frac{3}{5})}^{0}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{5}$ .

$a = 5 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Langkah 3.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = 5 \frac{1}{5^{0}}$

Langkah 3.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Langkah 3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Langkah 3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$a = 5 \cdot 1$

Langkah 3.2.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$a = 5$

Langkah 4

Substitusikan nilai rasio, suku pertama, dan banyaknya suku ke dalam rumus penjumlahan.

$5 \frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan $\frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}})$

Langkah 5.1.2

Gabungkan.

$5 \frac{5 (1 - {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 (1 - \frac{3}{5})}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{3}{5})}$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3}{5}$ ke dalam pembilangnya.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 3}{5})}$

Langkah 5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 3}{5})}$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 - 3}$

Langkah 5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5 \frac{5 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 - 3}$

Langkah 5.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{5}$ .

$5 \frac{5 + 5 (- \frac{3^{51}}{5^{51}})}{5 \cdot 1 - 3}$

Langkah 5.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3^{51}}{5^{51}}$ ke dalam pembilangnya.

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5^{51}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Langkah 5.4.3.2

Faktorkan $5$ dari $5^{51}$ .

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5 \cdot 5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Langkah 5.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5 \cdot 5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Langkah 5.4.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$5 \frac{5 + \frac{- 3^{51}}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Langkah 5.4.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $51$ .

$5 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Langkah 5.4.5

Kalikan $- 1$ dengan $2153693963075560000000000$ .

$5 \frac{5 + \frac{- 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Langkah 5.4.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$5 \frac{5 - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Langkah 5.4.7

Untuk menuliskan $5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5^{50}}{5^{50}}$ .

$5 \frac{5 \cdot \frac{5^{50}}{5^{50}} - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Langkah 5.4.8

Gabungkan $5$ dan $\frac{5^{50}}{5^{50}}$ .

$5 \frac{\frac{5 \cdot 5^{50}}{5^{50}} - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Langkah 5.4.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$5 \frac{\frac{5 \cdot 5^{50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Langkah 5.4.10

Kalikan $5$ dengan $5^{50}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.10.1

Kalikan $5$ dengan $5^{50}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.10.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $1$ .

$5 \frac{\frac{5^{1} \cdot 5^{50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Langkah 5.4.10.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$5 \frac{\frac{5^{1 + 50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Langkah 5.4.10.2

Tambahkan $1$ dan $50$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Langkah 5.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 - 3}$

Langkah 5.5.2

Kurangi $3$ dengan $5$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{2}$

Langkah 5.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$5 (\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 5.7

Kalikan $\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$5 \frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50} \cdot 2}$

Langkah 5.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $5^{50}$ .

$5 \frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{50}}$

Langkah 5.9

Gabungkan $5$ dan $\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{50}}$ .

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{2 \cdot 5^{50}}$

Langkah 5.10

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.1

Faktorkan $5$ dari $2 \cdot 5^{50}$ .

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{5 (2 \cdot 5^{49})}$

Langkah 5.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{5 (2 \cdot 5^{49})}$

Langkah 5.10.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{49}}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{49}}$

Bentuk Desimal:

$12.49999999 \dots$