Prakalkulus Contoh

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

Langkah 1

Pisahkan penjumlahannya menjadi penjumlahan yang lebih kecil yang sesuai dengan kaidah penjumlahan.

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{100} 9 + \sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

Langkah 2

Evaluasi $\sum_{k = 1}^{100} 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Rumus untuk penjumlahan konstanta adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Langkah 2.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$(9) (100)$

Langkah 2.3

Kalikan $9$ dengan $100$ .

$900$

Langkah 3

Evaluasi $\sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Jumlah deret geometri berhingga dapat ditentukan menggunakan rumus $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 3.2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan $a_{k}$ dan $a_{k + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Hapus faktor persekutuan dari ${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ dan ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Faktorkan ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ dari ${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

Langkah 3.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

Langkah 3.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Langkah 3.2.2.1.2.4

Bagilah ${(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$ dengan $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Langkah 3.2.2.2

Tambahkan $k$ dan $0$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - (k - 1)}$

Langkah 3.2.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k - - 1}$

Langkah 3.2.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k + 1}$

Langkah 3.2.2.4

Kurangi $k$ dengan $k$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{0 + 1}$

Langkah 3.2.2.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{1}$

Langkah 3.2.2.6

Sederhanakan.

$r = \frac{1}{2}$

Langkah 3.3

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Substitusikan $1$ untuk $k$ ke dalam ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{1 - 1}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

Langkah 3.3.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Langkah 3.3.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = \frac{1}{2^{0}}$

Langkah 3.3.2.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Langkah 3.3.2.5

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$a = 1$

Langkah 3.4

Substitusikan nilai rasio, suku pertama, dan banyaknya suku ke dalam rumus penjumlahan.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kalikan $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Langkah 3.5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Kalikan $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Langkah 3.5.2.2

Gabungkan.

$\frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

Langkah 3.5.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Langkah 3.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Langkah 3.5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Langkah 3.5.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 + 2 (- \frac{1^{100}}{2^{100}})}{2 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1^{100}}{2^{100}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2^{100}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.3.2

Faktorkan $2$ dari $2^{100}$ .

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 + \frac{- 1^{100}}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 + \frac{- 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2 - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.7

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{2 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.8

Gabungkan $2$ dan $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.10

Kalikan $2$ dengan $2^{99}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.10.1

Kalikan $2$ dengan $2^{99}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.10.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{2^{1} \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.10.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{2^{1 + 99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.10.2

Tambahkan $1$ dan $99$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.6.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 - 1}$

Langkah 3.5.6.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{1}$

Langkah 3.5.7

Bagilah $\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$ dengan $1$ .

$\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Langkah 4

Jumlahkan hasil penjumlahan.

$900 + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menuliskan $900$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$900 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Langkah 5.2

Gabungkan $900$ dan $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{900 \cdot 2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Langkah 5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

Bentuk Desimal:

$902$