Prakalkulus Contoh

$\sum_{k = 1}^{200} {(2 k - 3)}^{2}$

Langkah 1

Sederhanakan penjumlahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(2 k - 3)}^{2}$ sebagai $(2 k - 3) (2 k - 3)$ .

$(2 k - 3) (2 k - 3)$

Langkah 1.2

Perluas $(2 k - 3) (2 k - 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$2 k (2 k - 3) - 3 (2 k - 3)$

Langkah 1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k - 3)$

Langkah 1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Langkah 1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \cdot 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $k$ dengan $k$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.2.1

Pindahkan $k$ .

$2 \cdot 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Langkah 1.3.1.2.2

Kalikan $k$ dengan $k$ .

$2 \cdot 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Langkah 1.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Langkah 1.3.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$4 k^{2} - 6 k - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Langkah 1.3.1.5

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k - 3 \cdot - 3$

Langkah 1.3.1.6

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k + 9$

Langkah 1.3.2

Kurangi $6 k$ dengan $- 6 k$ .

$4 k^{2} - 12 k + 9$

Langkah 1.4

Tulis kembali penjumlahannya.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9$

Langkah 2

Pisahkan penjumlahannya menjadi penjumlahan yang lebih kecil yang sesuai dengan kaidah penjumlahan.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9 = 4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2} - 12 \sum_{k = 1}^{200} k + \sum_{k = 1}^{200} 9$

Langkah 3

Evaluasi $4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $2$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(4) (\frac{200 (200 + 1) (2 \cdot 200 + 1)}{6})$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tambahkan $200$ dan $1$ .

$4 \frac{200 \cdot 201 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Langkah 3.3.1.2

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Kalikan $200$ dengan $201$ .

$4 \frac{40200 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Langkah 3.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $200$ .

$4 \frac{40200 (400 + 1)}{6}$

Langkah 3.3.1.3

Tambahkan $400$ dan $1$ .

$4 \frac{40200 \cdot 401}{6}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan $40200$ dengan $401$ .

$4 (\frac{16120200}{6})$

Langkah 3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 (2) \frac{16120200}{6}$

Langkah 3.3.2.2.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (\frac{16120200}{3})$

Langkah 3.3.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{16120200}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16120200}{3}$

Langkah 3.3.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.4.1

Kalikan $2$ dengan $16120200$ .

$\frac{32240400}{3}$

Langkah 3.3.2.4.2

Bagilah $32240400$ dengan $3$ .

$10746800$

Langkah 4

Evaluasi $12 \sum_{k = 1}^{200} k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $1$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(- 12) (\frac{200 (200 + 1)}{2})$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Tambahkan $200$ dan $1$ .

$- 12 \frac{200 \cdot 201}{2}$

Langkah 4.3.1.2

Kalikan $200$ dengan $201$ .

$- 12 (\frac{40200}{2})$

Langkah 4.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 12$ .

$2 (- 6) \frac{40200}{2}$

Langkah 4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 6 \frac{40200}{2}$

Langkah 4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 6 \cdot 40200$

Langkah 4.3.3

Kalikan $- 6$ dengan $40200$ .

$- 241200$

Langkah 5

Evaluasi $\sum_{k = 1}^{200} 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Rumus untuk penjumlahan konstanta adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$(9) (200)$

Langkah 5.3

Kalikan $9$ dengan $200$ .

$1800$

Langkah 6

Jumlahkan hasil penjumlahan.

$10746800 - 241200 + 1800$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kurangi $241200$ dengan $10746800$ .

$10505600 + 1800$

Langkah 7.2

Tambahkan $10505600$ dan $1800$ .

$10507400$