Prakalkulus Contoh

$\sum_{k = 1}^{\infty} 3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan menggunakan rumus $\frac{a}{1 - r}$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{k}$ dan $a_{k + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Langkah 2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ dan ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ dari ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Langkah 2.2.2.2.4

Bagilah ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ dengan $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Langkah 2.2.3

Tambahkan $k$ dan $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

Langkah 2.2.5

Kurangi $k$ dengan $k$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Langkah 2.2.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$r = \frac{2}{3}$

Langkah 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Langkah 4

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ untuk $k$ ke dalam $3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{0}$

Langkah 4.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{3}$ .

$a = 3 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Langkah 4.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = 3 \frac{1}{3^{0}}$

Langkah 4.2.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Langkah 4.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Langkah 4.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$a = 3 \cdot 1$

Langkah 4.2.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$a = 3$

Langkah 5

Substitusikan nilai rasio dan suku pertama ke dalam rumus penjumlahan.

$\frac{3}{1 - \frac{2}{3}}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{3}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Langkah 6.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3}{\frac{3 - 2}{3}}$

Langkah 6.1.3

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{3}{\frac{1}{3}}$

Langkah 6.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$3 \cdot 3$

Langkah 6.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$9$