Prakalkulus Contoh

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} < \frac{13}{4 - x^{2}}$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{13}{4 - x^{2}}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}} < 0$

Langkah 2

Sederhanakan $\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{2^{2} - x^{2}} < 0$

Langkah 2.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2$ dan $b = x$ .

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.2

Untuk menuliskan $\frac{2}{x + 2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.3

Untuk menuliskan $\frac{x}{2 - x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x + 2) (2 - x)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan $\frac{2}{x + 2}$ dengan $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.4.2

Kalikan $\frac{x}{2 - x}$ dengan $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.4.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(x + 2) (2 - x)$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(2 - x) (x + 2)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 (2 - x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.6.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{4 - 2 x + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.6.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 - 2 x + x \cdot x + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.6.5

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.6.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + 2 \cdot x}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.6.7

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$\frac{4 + x^{2} + 0}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.6.8

Tambahkan $4 + x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.7

Susun kembali suku-suku.

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(x + 2) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.8

Susun kembali faktor-faktor dari $(x + 2) (2 - x)$ .

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Langkah 2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 + x^{2} - 13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Langkah 2.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Kurangi $13$ dengan $4$ .

$\frac{x^{2} - 9}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Langkah 2.10.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Langkah 2.10.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Langkah 3

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 4

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 5

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 6

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 2$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $- x = - 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 7.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 1$ .

$x = 2$

Langkah 8

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 9

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = - 3$

$x = 3$

$x = 2$

$x = - 2$

Langkah 10

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = - 3, 3, 2, - 2$

Langkah 11

Tentukan domain dari $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur penyebut dalam $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$(2 - x) (x + 2) = 0$

Langkah 11.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 11.2.2

Atur $2 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Atur $2 - x$ sama dengan $0$ .

$2 - x = 0$

Langkah 11.2.2.2

Selesaikan $2 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 2$

Langkah 11.2.2.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 11.2.2.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 11.2.2.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 11.2.2.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.2.2.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 1$ .

$x = 2$

Langkah 11.2.3

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 11.2.3.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 11.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 - x) (x + 2) = 0$ benar.

$x = 2, - 2$

Langkah 11.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 12

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Langkah 13

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Uji nilai pada interval $x < - 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 13.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{2}{(- 6) + 2} + \frac{- 6}{2 - (- 6)} < \frac{13}{4 - {(- 6)}^{2}}$

Langkah 13.1.3

Sisi kiri $- 1.25$ lebih kecil dari sisi kanan $- 0.40625$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 13.2

Uji nilai pada interval $- 3 < x < - 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Pilih nilai pada interval $- 3 < x < - 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 2.5$

Langkah 13.2.2

Ganti $x$ dengan $- 2.5$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{2}{(- 2.5) + 2} + \frac{- 2.5}{2 - (- 2.5)} < \frac{13}{4 - {(- 2.5)}^{2}}$

Langkah 13.2.3

Sisi kiri $- 4.\overline{5}$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $- 5.\overline{7}$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 13.3

Uji nilai pada interval $- 2 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Pilih nilai pada interval $- 2 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 13.3.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{2}{(0) + 2} + \frac{0}{2 - (0)} < \frac{13}{4 - {(0)}^{2}}$

Langkah 13.3.3

Sisi kiri $1$ lebih kecil dari sisi kanan $3.25$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 13.4

Uji nilai pada interval $2 < x < 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Pilih nilai pada interval $2 < x < 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2.5$

Langkah 13.4.2

Ganti $x$ dengan $2.5$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{2}{(2.5) + 2} + \frac{2.5}{2 - (2.5)} < \frac{13}{4 - {(2.5)}^{2}}$

Langkah 13.4.3

Sisi kiri $- 4.\overline{5}$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $- 5.\overline{7}$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 13.5

Uji nilai pada interval $x > 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Pilih nilai pada interval $x > 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 13.5.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{2}{(6) + 2} + \frac{6}{2 - (6)} < \frac{13}{4 - {(6)}^{2}}$

Langkah 13.5.3

Sisi kiri $- 1.25$ lebih kecil dari sisi kanan $- 0.40625$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 13.6

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 3$ Benar

$- 3 < x < - 2$ Salah

$- 2 < x < 2$ Benar

$2 < x < 3$ Salah

$x > 3$ Benar

$x < - 3$ Benar

$- 3 < x < - 2$ Salah

$- 2 < x < 2$ Benar

$2 < x < 3$ Salah

$x > 3$ Benar

Langkah 14

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - 3$ atau $- 2 < x < 2$ atau $x > 3$

Langkah 15

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$x < - 3 or - 2 < x < 2 or x > 3$

Notasi Interval:

$(- \infty, - 3) \cup (- 2, 2) \cup (3, \infty)$

Langkah 16