Prakalkulus Contoh

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = 3$

Langkah 1

Kalikan kedua ruas dengan $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x} - e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Langkah 2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{x} + e^{- x} = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan $3 (e^{x} - e^{- x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} + 3 (- e^{- x})$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Langkah 3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali $e^{- x}$ sebagai eksponensiasi.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Langkah 3.2

Substitusikan $u$ untuk $e^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Langkah 3.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $e^{- x}$ sebagai eksponensiasi.

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Langkah 3.5

Substitusikan $u$ untuk $e^{x}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Langkah 3.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Langkah 3.6.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u + \frac{- 3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Langkah 3.6.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u + \frac{1}{u} = 3 u - \frac{3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Langkah 3.7

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Kurangkan $3 e^{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} = - 3 e^{- x}$

Langkah 3.7.2

Tambahkan $3 e^{- x}$ ke kedua sisi persamaan.

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

Langkah 3.7.3

Kurangi $3 e^{x}$ dengan $e^{x}$ .

$e^{- x} - 2 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

Langkah 3.7.4

Tambahkan $e^{- x}$ dan $3 e^{- x}$ .

$4 e^{- x} - 2 e^{x} = 0$

Langkah 3.8

Pindahkan $- 2 e^{x}$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkannya ke kedua sisinya.

$4 e^{- x} = 2 e^{x}$

Langkah 3.9

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (4 e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

Langkah 3.10

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Tulis kembali $\ln (4 e^{- x})$ sebagai $\ln (4) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

Langkah 3.10.2

Perluas $\ln (e^{- x})$ dengan memindahkan $- x$ ke luar logaritma.

$\ln (4) - x \ln (e) = \ln (2 e^{x})$

Langkah 3.10.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (4) - x \cdot 1 = \ln (2 e^{x})$

Langkah 3.10.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2 e^{x})$

Langkah 3.11

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Tulis kembali $\ln (2 e^{x})$ sebagai $\ln (2) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + \ln (e^{x})$

Langkah 3.11.2

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \ln (e)$

Langkah 3.11.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \cdot 1$

Langkah 3.11.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + x$

Langkah 3.12

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (4) - \ln (2) = x + x$

Langkah 3.13

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4}{2}) = x + x$

Langkah 3.14

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$\ln (2) = x + x$

Langkah 3.15

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$\ln (2) = 2 x$

Langkah 3.16

Karena $x$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$2 x = \ln (2)$

Langkah 3.17

Bagi setiap suku pada $2 x = \ln (2)$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.17.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \ln (2)$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

Langkah 3.17.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.17.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.17.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

Langkah 3.17.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

Langkah 4

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

Bentuk Desimal:

$x = 0.34657359 \dots$