Prakalkulus Contoh

$\cos (2 x) - \sqrt{3} \sin (x) = 1$

Langkah 1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cos (2 x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1 = 0$

Langkah 2

Sederhanakan sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1 = 0$

Langkah 2.2

Gabungkan suku balikan dalam $1 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

Langkah 2.2.2

Kurangi $2 \sin^{2} (x)$ dengan $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

Langkah 3

Faktorkan $\sin (x)$ dari $- 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $\sin (x)$ dari $- \sqrt{3} \sin (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) (- \sqrt{3}) = 0$

Langkah 3.3

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) (- \sqrt{3})$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x) - \sqrt{3}) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

Langkah 5

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 5.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 5.2.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 5.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 5.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 5.2.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Atur $- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$ sama dengan $0$ .

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tambahkan $\sqrt{3}$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$

Langkah 6.2.2

Bagi setiap suku pada $- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Langkah 6.2.2.2.1.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Langkah 6.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 6.2.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 6.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ adalah $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Langkah 6.2.5

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Langkah 6.2.6

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.6.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Langkah 6.2.6.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{4 π}{3}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Langkah 6.2.7

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 6.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 6.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 6.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 6.2.8

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{3}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Langkah 6.2.8.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 6.2.8.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 6.2.8.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 6.2.8.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.4.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Langkah 6.2.8.4.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Langkah 6.2.8.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{5 π}{3}$

Langkah 6.2.9

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $\sin (x) (- 2 \sin (x) - \sqrt{3}) = 0$ benar.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Gabungkan $2 π n$ dan $π + 2 π n$ menjadi $π n$ .

$x = π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$