Prakalkulus Contoh

$f (x) = 7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$

Langkah 1

Atur $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ sama dengan $0$ .

$7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 7$

Langkah 2.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 5, \pm 0.\overline{714285}$

Langkah 2.1.3

Substitusikan $- 0.\overline{714285}$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 0.\overline{714285}$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Substitusikan $- 0.\overline{714285}$ ke dalam polinomialnya.

$7 {(- 0.\overline{714285})}^{3} + 12 {(- 0.\overline{714285})}^{2} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Langkah 2.1.3.2

Naikkan $- 0.\overline{714285}$ menjadi pangkat $3$ .

$7 \cdot - 0.36443148 + 12 {(- 0.\overline{714285})}^{2} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $7$ dengan $- 0.36443148$ .

$- 2.5510204 + 12 {(- 0.\overline{714285})}^{2} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Langkah 2.1.3.4

Naikkan $- 0.\overline{714285}$ menjadi pangkat $2$ .

$- 2.5510204 + 12 \cdot 0.51020408 - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Langkah 2.1.3.5

Kalikan $12$ dengan $0.51020408$ .

$- 2.5510204 + 6.12244897 - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Langkah 2.1.3.6

Tambahkan $- 2.5510204$ dan $6.12244897$ .

$3.\overline{571428} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Langkah 2.1.3.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 0.\overline{714285}$ .

$3.\overline{571428} + 1.\overline{428571} - 5$

Langkah 2.1.3.8

Tambahkan $3.\overline{571428}$ dan $1.\overline{428571}$ .

$5 - 5$

Langkah 2.1.3.9

Kurangi $5$ dengan $5$ .

$0$

Langkah 2.1.4

Karena $- 0.\overline{714285}$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $7 x + 5$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5}{7 x + 5}$

Langkah 2.1.5

Bagilah $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ dengan $7 x + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$7 x$

$5$

$7 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x$

$5$

Langkah 2.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $7 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $7 x$ .

					$x^{2}$
	$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$

Langkah 2.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			+	$7 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Langkah 2.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $7 x^{3} + 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Langkah 2.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Langkah 2.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$

Langkah 2.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $7 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $7 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$

Langkah 2.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$5 x$

Langkah 2.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $7 x^{2} + 5 x$

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$

Langkah 2.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$

Langkah 2.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$

Langkah 2.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 7 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $7 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$

Langkah 2.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$
							-	$7 x$	-	$5$

Langkah 2.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 7 x - 5$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$
							+	$7 x$	+	$5$

Langkah 2.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$
							+	$7 x$	+	$5$
										$0$

Langkah 2.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + x - 1$

Langkah 2.1.6

Tulis $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ sebagai himpunan faktor.

$(7 x + 5) (x^{2} + x - 1) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$7 x + 5 = 0$

$x^{2} + x - 1 = 0$

Langkah 2.3

Atur $7 x + 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $7 x + 5$ sama dengan $0$ .

$7 x + 5 = 0$

Langkah 2.3.2

Selesaikan $7 x + 5 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$7 x = - 5$

Langkah 2.3.2.2

Bagi setiap suku pada $7 x = - 5$ dengan $7$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $7 x = - 5$ dengan $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

Langkah 2.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

Langkah 2.3.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 5}{7}$

Langkah 2.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{5}{7}$

Langkah 2.4

Atur $x^{2} + x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x^{2} + x - 1$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + x - 1 = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x^{2} + x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.4.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 1$ , dan $c = - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.4.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.1.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.4.2.4.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.4.2.4.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.4.2.4.5

Faktorkan $- 1$ dari $\sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

Langkah 2.4.2.4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{5})}{2}$

Langkah 2.4.2.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.4.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.5.1.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.4.2.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.4.2.5.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.4.2.5.5

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{5})}{2}$

Langkah 2.4.2.5.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (\sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{5})}{2}$

Langkah 2.4.2.5.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.4.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(7 x + 5) (x^{2} + x - 1) = 0$ benar. Kegandaan dari akar adalah jumlah banyaknya akar tersebut muncul.

$x = - \frac{5}{7}$ (Multiplisitas dari $1$ )

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ (Multiplisitas dari $1$ )

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (Multiplisitas dari $1$ )

$x = - \frac{5}{7}$ (Multiplisitas dari $1$ )

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ (Multiplisitas dari $1$ )

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (Multiplisitas dari $1$ )

Langkah 3