Prakalkulus Contoh

$f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x - 6$

Langkah 1

Atur $- x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x - 6$ sama dengan $0$ .

$- x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $- x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x - 6$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Langkah 2.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Langkah 2.1.1.3

Substitusikan $1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Substitusikan $1$ ke dalam polinomialnya.

$- 1^{4} - 2 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 6$

Langkah 2.1.1.3.2

Naikkan $1$ menjadi pangkat $4$ .

$- 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 6$

Langkah 2.1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 - 2 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 6$

Langkah 2.1.1.3.4

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$- 1 - 2 \cdot 1 + 5 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 6$

Langkah 2.1.1.3.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 1 - 2 + 5 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 6$

Langkah 2.1.1.3.6

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$- 3 + 5 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 6$

Langkah 2.1.1.3.7

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 3 + 5 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 6$

Langkah 2.1.1.3.8

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$- 3 + 5 + 4 \cdot 1 - 6$

Langkah 2.1.1.3.9

Tambahkan $- 3$ dan $5$ .

$2 + 4 \cdot 1 - 6$

Langkah 2.1.1.3.10

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$2 + 4 - 6$

Langkah 2.1.1.3.11

Tambahkan $2$ dan $4$ .

$6 - 6$

Langkah 2.1.1.3.12

Kurangi $6$ dengan $6$ .

$0$

Langkah 2.1.1.4

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{- x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x - 6}{x - 1}$

Langkah 2.1.1.5

Bagilah $- x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x - 6$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

Langkah 2.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x^{4}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				-	$x^{3}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$6$

Langkah 2.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$x^{3}$
$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	+	$x^{3}$

Langkah 2.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x^{4} + x^{3}$

			-	$x^{3}$
$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$6$
			+	$x^{4}$	-	$x^{3}$

Langkah 2.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$x^{3}$
$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$6$
			+	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$3 x^{3}$

Langkah 2.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 3 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$6$
			+	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$3 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 3 x^{3} + 3 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

Langkah 2.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

Langkah 2.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

Langkah 2.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{2} - 2 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

Langkah 2.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$6 x$

Langkah 2.1.1.5.16

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$6 x$

$6$

Langkah 2.1.1.5.17

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $6 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$6 x$

$6$

Langkah 2.1.1.5.18

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

Langkah 2.1.1.5.19

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $6 x - 6$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

Langkah 2.1.1.5.20

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

$0$

Langkah 2.1.1.5.21

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$- x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 6$

Langkah 2.1.1.6

Tulis $- x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x - 6$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 1) (- x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 6) = 0$

Langkah 2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x - 1) ((- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 x + 6) = 0$

Langkah 2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x - 1) (x^{2} (- x - 3) - 2 (- x - 3)) = 0$

Langkah 2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- x - 3$ .

$(x - 1) ((- x - 3) (x^{2} - 2)) = 0$

Langkah 2.1.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 1) (- x - 3) (x^{2} - 2) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$- x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Langkah 2.3

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.4

Atur $- x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $- x - 3$ sama dengan $0$ .

$- x - 3 = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $- x - 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$- x = 3$

Langkah 2.4.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = 3$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = 3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Langkah 2.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

Langkah 2.4.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

Langkah 2.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.3.1

Bagilah $3$ dengan $- 1$ .

$x = - 3$

Langkah 2.5

Atur $x^{2} - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x^{2} - 2$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $x^{2} - 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 2$

Langkah 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Langkah 2.5.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{2}$

Langkah 2.5.2.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{2}$

Langkah 2.5.2.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 1) (- x - 3) (x^{2} - 2) = 0$ benar.

$x = 1, - 3, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Langkah 3

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = 1, - 3, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Bentuk Desimal:

$x = 1, - 3, 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots$

Langkah 4