Prakalkulus Contoh

$x^{4} - 21 x^{2} - 100$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20, \pm 25, \pm 50, \pm 100$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20, \pm 25, \pm 50, \pm 100$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(5)}^{4} - 21 {(5)}^{2} - 100$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 5$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $4$ .

$625 - 21 {(5)}^{2} - 100$

Langkah 4.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$625 - 21 \cdot 25 - 100$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 21$ dengan $25$ .

$625 - 525 - 100$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $525$ dengan $625$ .

$100 - 100$

Langkah 4.2.2

Kurangi $100$ dengan $100$ .

$0$

Langkah 5

Karena $5$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 5$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{4} - 21 x^{2} - 100}{x - 5}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(5)$ dan tempatkan hasil $(5)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(0)$ .

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$
		$5$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$
		$5$
	$1$	$5$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(5)$ dengan pembagi $(5)$ dan tempatkan hasil $(25)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 21)$ .

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$
		$5$	$25$
	$1$	$5$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$
		$5$	$25$
	$1$	$5$	$4$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(4)$ dengan pembagi $(5)$ dan tempatkan hasil $(20)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(0)$ .

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$
		$5$	$25$	$20$
	$1$	$5$	$4$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$
		$5$	$25$	$20$
	$1$	$5$	$4$	$20$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(20)$ dengan pembagi $(5)$ dan tempatkan hasil $(100)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 100)$ .

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$
		$5$	$25$	$20$	$100$
	$1$	$5$	$4$	$20$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$
		$5$	$25$	$20$	$100$
	$1$	$5$	$4$	$20$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (4) x + 20$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 20$

Langkah 7

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x - 5) (x^{3} + 5 x^{2}) + 4 x + 20$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x - 5) + x^{2} (x + 5) + 4 (x + 5)$

$(x - 5) x^{2} (x + 5) + 4 (x + 5)$

Langkah 8

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x + 5$ .

$(x - 5) (x + 5) (x^{2} + 4)$

Langkah 9

Substitusikan $u = x^{2}$ ke dalam persamaan. Hal ini akan membuat rumus kuadrat tersebut mudah digunakan.

$u^{2} - 21 u - 100 = 0$

$u = x^{2}$

Langkah 10

Faktorkan $u^{2} - 21 u - 100$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 100$ dan jumlahnya $- 21$ .

$- 25, 4$

Langkah 10.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(u - 25) (u + 4) = 0$

Langkah 11

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$u - 25 = 0$

$u + 4 = 0$

Langkah 12

Atur $u - 25$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $u - 25$ sama dengan $0$ .

$u - 25 = 0$

Langkah 12.2

Tambahkan $25$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 25$

Langkah 13

Atur $u + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $u + 4$ sama dengan $0$ .

$u + 4 = 0$

Langkah 13.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 4$

Langkah 14

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(u - 25) (u + 4) = 0$ benar.

$u = 25, - 4$

Langkah 15

Substitusikan kembali nilai riil dari $u = x^{2}$ ke dalam persamaan yang diselesaikan.

$x^{2} = 25$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Langkah 16

Selesaikan persamaan pertama untuk $x$ .

$x^{2} = 25$

Langkah 17

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Langkah 17.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Langkah 17.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 5$

Langkah 17.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 5$

Langkah 17.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 5$

Langkah 17.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 5, - 5$

Langkah 18

Selesaikan persamaan kedua untuk $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Langkah 19

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Hilangkan tanda kurung.

$x^{2} = - 4$

Langkah 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Langkah 19.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.1

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Langkah 19.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (4)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Langkah 19.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Langkah 19.3.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Langkah 19.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm i \cdot 2$

Langkah 19.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \pm 2 i$

Langkah 19.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2 i$

Langkah 19.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2 i$

Langkah 19.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2 i, - 2 i$

Langkah 20

Penyelesaian untuk $x^{4} - 21 x^{2} - 100 = 0$ adalah $x = 5, - 5, 2 i, - 2 i$ .

$x = 5, - 5, 2 i, - 2 i$

Langkah 21