Prakalkulus Contoh

$9 x^{4} + 10 x^{3} + 19 x^{2} + 20 x + 2$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$9 {(- 1)}^{4} + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = - 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$9 \cdot 1 + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Langkah 4.1.2

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$9 + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Langkah 4.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$9 + 10 \cdot - 1 + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Langkah 4.1.4

Kalikan $10$ dengan $- 1$ .

$9 - 10 + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Langkah 4.1.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$9 - 10 + 19 \cdot 1 + 20 (- 1) + 2$

Langkah 4.1.6

Kalikan $19$ dengan $1$ .

$9 - 10 + 19 + 20 (- 1) + 2$

Langkah 4.1.7

Kalikan $20$ dengan $- 1$ .

$9 - 10 + 19 - 20 + 2$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $10$ dengan $9$ .

$- 1 + 19 - 20 + 2$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $19$ .

$18 - 20 + 2$

Langkah 4.2.3

Kurangi $20$ dengan $18$ .

$- 2 + 2$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$0$

Langkah 5

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{9 x^{4} + 10 x^{3} + 19 x^{2} + 20 x + 2}{x + 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(9)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$

	$9$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(9)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 9)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(10)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$
	$9$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$
	$9$	$1$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(19)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$
	$9$	$1$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$
	$9$	$1$	$18$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(18)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 18)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(20)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$
	$9$	$1$	$18$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$
	$9$	$1$	$18$	$2$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(2)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 2)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(2)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$	$- 2$
	$9$	$1$	$18$	$2$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$	$- 2$
	$9$	$1$	$18$	$2$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$9 x^{3} + 1 x^{2} + (18) x + 2$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$9 x^{3} + x^{2} + 18 x + 2$

Langkah 7

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 1) (9 x^{3} + x^{2}) + 18 x + 2$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 1) + x^{2} (9 x + 1) + 2 (9 x + 1)$

$(x + 1) x^{2} (9 x + 1) + 2 (9 x + 1)$

Langkah 8

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $9 x + 1$ .

$(x + 1) (9 x + 1) (x^{2} + 2)$

Langkah 9

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$10 x^{3} + 20 x + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Langkah 9.2

Faktorkan $10 x$ dari $10 x^{3} + 20 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan $10 x$ dari $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) + 20 x + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Langkah 9.2.2

Faktorkan $10 x$ dari $20 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (2) + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Langkah 9.2.3

Faktorkan $10 x$ dari $10 x (x^{2}) + 10 x (2)$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Langkah 9.3

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 {(x^{2})}^{2} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Langkah 9.4

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 19 u + 2 = 0$

Langkah 9.5

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 9 \cdot 2 = 18$ dan yang jumlahnya adalah $b = 19$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1.1

Faktorkan $19$ dari $19 u$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 19 (u) + 2 = 0$

Langkah 9.5.1.2

Tulis kembali $19$ sebagai $1$ ditambah $18$

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + (1 + 18) u + 2 = 0$

Langkah 9.5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 1 u + 18 u + 2 = 0$

Langkah 9.5.1.4

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + u + 18 u + 2 = 0$

Langkah 9.5.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + u + 18 u + 2 = 0$

Langkah 9.5.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$10 x (x^{2} + 2) + u (9 u + 1) + 2 (9 u + 1) = 0$

Langkah 9.5.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $9 u + 1$ .

$10 x (x^{2} + 2) + (9 u + 1) (u + 2) = 0$

Langkah 9.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 2) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2) = 0$

Langkah 9.7

Faktorkan $x^{2} + 2$ dari $10 x (x^{2} + 2) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.7.1

Faktorkan $x^{2} + 2$ dari $10 x (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2) = 0$

Langkah 9.7.2

Faktorkan $x^{2} + 2$ dari $(9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x) + (x^{2} + 2) (9 x^{2} + 1) = 0$

Langkah 9.7.3

Faktorkan $x^{2} + 2$ dari $(x^{2} + 2) (10 x) + (x^{2} + 2) (9 x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x + 9 x^{2} + 1) = 0$

Langkah 9.8

Biarkan $u = x$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x$ .

$(x^{2} + 2) (10 u + 9 u^{2} + 1) = 0$

Langkah 9.9

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.9.1

Susun kembali suku-suku.

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 10 u + 1) = 0$

Langkah 9.9.2

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ dan yang jumlahnya adalah $b = 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.9.2.1

Faktorkan $10$ dari $10 u$ .

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 10 (u) + 1) = 0$

Langkah 9.9.2.2

Tulis kembali $10$ sebagai $1$ ditambah $9$

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + (1 + 9) u + 1) = 0$

Langkah 9.9.2.3

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 1 u + 9 u + 1) = 0$

Langkah 9.9.2.4

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + u + 9 u + 1) = 0$

Langkah 9.9.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.9.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x^{2} + 2) ((9 u^{2} + u) + 9 u + 1) = 0$

Langkah 9.9.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x^{2} + 2) (u (9 u + 1) + 1 (9 u + 1)) = 0$

Langkah 9.9.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $9 u + 1$ .

$(x^{2} + 2) ((9 u + 1) (u + 1)) = 0$

Langkah 9.10

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.10.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$(x^{2} + 2) ((9 x + 1) (x + 1)) = 0$

Langkah 9.10.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x^{2} + 2) (9 x + 1) (x + 1) = 0$

Langkah 10

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$9 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 11

Atur $x^{2} + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $x^{2} + 2$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Langkah 11.2

Selesaikan $x^{2} + 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 2$

Langkah 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Langkah 11.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Langkah 11.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (2)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Langkah 11.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Langkah 11.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i \sqrt{2}$

Langkah 11.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i \sqrt{2}$

Langkah 11.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Langkah 12

Atur $9 x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $9 x + 1$ sama dengan $0$ .

$9 x + 1 = 0$

Langkah 12.2

Selesaikan $9 x + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$9 x = - 1$

Langkah 12.2.2

Bagi setiap suku pada $9 x = - 1$ dengan $9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.1

Bagilah setiap suku di $9 x = - 1$ dengan $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Langkah 12.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Langkah 12.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

Langkah 12.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1}{9}$

Langkah 13

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 13.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 14

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x^{2} + 2) (9 x + 1) (x + 1) = 0$ benar.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - \frac{1}{9}, - 1$

Langkah 15