Prakalkulus Contoh

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

Langkah 1

Mulai dari sisi kanan.

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

Langkah 2

Konversikan ke sinus dan kosinus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan identitas timbal balik ke $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x))}^{2}$

Langkah 2.2

Tulis $\tan (x)$ dalam sinus dan kosinus menggunakan identitas hasil bagi.

${(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali ${(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ sebagai $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.2

Perluas $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1.1

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)}$ dengan $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.1.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.1.3

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.2

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.2.1

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)}$ dengan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.2.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.2.3

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.3

Kalikan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.3.1

Kalikan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dengan $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.3.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.3.3

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4

Kalikan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.4.1

Kalikan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dengan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.2

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.3

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}{\cos (x) \cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.6

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.7

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}$

Langkah 2.3.3.1.4.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Langkah 2.3.3.1.4.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Langkah 2.3.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) + \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Langkah 2.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Langkah 2.3.5

Tambahkan $\sin (x)$ dan $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Langkah 2.3.6

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali ${(1 + \sin (x))}^{2}$ sebagai $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 2.4.2

Perluas $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 2.4.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 2.4.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 2.4.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 \sin (x) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (x)$

Langkah 3.3

Tulis kembali polinomialnya.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = 1$ dan $b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4

Terapkan identitas Pythagoras secara terbalik.

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

Langkah 5.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Langkah 5.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(1 + \sin (x))}^{2}$ dan $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Langkah 6

Karena kedua sisi telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah sebuah identitas.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ adalah identitas