Prakalkulus Contoh

$36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x - 2224 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $2224$ ke kedua sisi persamaan.

$36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x = 2224$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $36 y^{2} - 144 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 36$

$b = - 144$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 144}{2 \cdot 36}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 144$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 144$ .

$d = \frac{2 \cdot - 72}{2 \cdot 36}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 72}{2 (36)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 72}{2 \cdot 36}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 72}{36}$

Langkah 1.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 72$ dan $36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $36$ dari $- 72$ .

$d = \frac{36 \cdot - 2}{36}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Faktorkan $36$ dari $36$ .

$d = \frac{36 \cdot - 2}{36 (1)}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{36 \cdot - 2}{36 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 2}{1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$d = - 2$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 144)}^{2}}{4 \cdot 36}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $- 144$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{20736}{4 \cdot 36}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $36$ .

$e = 0 - \frac{20736}{144}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $20736$ dengan $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $144$ .

$e = 0 - 144$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $144$ dengan $0$ .

$e = - 144$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $36 {(y - 2)}^{2} - 144$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 144$

Langkah 1.3

Substitusikan $36 {(y - 2)}^{2} - 144$ untuk $36 y^{2} - 144 y$ dalam persamaan $36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x = 2224$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 144 - 64 x^{2} - 128 x = 2224$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 144$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $144$ ke kedua sisinya.

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 x^{2} - 128 x = 2224 + 144$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $- 64 x^{2} - 128 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 64$

$b = - 128$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 128}{2 \cdot - 64}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 128$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 128$ .

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 \cdot - 64}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot - 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 (- 64)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 \cdot - 64}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 64}{- 64}$

Langkah 1.5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $- 64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{- 64}{- 64}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$d = 1$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 128)}^{2}}{4 \cdot - 64}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $- 128$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{16384}{4 \cdot - 64}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 64$ .

$e = 0 - \frac{16384}{- 256}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $16384$ dengan $- 256$ .

$e = 0 - - 64$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Langkah 1.5.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $64$ .

$e = 64$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- 64 {(x + 1)}^{2} + 64$ .

$- 64 {(x + 1)}^{2} + 64$

Langkah 1.6

Substitusikan $- 64 {(x + 1)}^{2} + 64$ untuk $- 64 x^{2} - 128 x$ dalam persamaan $36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x = 2224$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} + 64 = 2224 + 144$

Langkah 1.7

Pindahkan $64$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $64$ ke kedua sisinya.

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} = 2224 + 144 - 64$

Langkah 1.8

Sederhanakan $2224 + 144 - 64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $2224$ dan $144$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} = 2368 - 64$

Langkah 1.8.2

Kurangi $64$ dengan $2368$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} = 2304$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $2304$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{36 {(y - 2)}^{2}}{2304} - \frac{64 {(x + 1)}^{2}}{2304} = \frac{2304}{2304}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{64} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{36} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 8$

$b = 6$

$k = 2$

$h = - 1$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(- 1, 2)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(8)}^{2} + {(6)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{64 + {(6)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{64 + 36}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $64$ dan $36$ .

$\sqrt{100}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $100$ sebagai $10^{2}$ .

$\sqrt{10^{2}}$

Langkah 5.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$10$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 1, 10)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 1, - 6)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h, k \pm a)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(- 1, 10), (- 1, - 6)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 1, 12)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 1, - 8)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(- 1, 12), (- 1, - 8)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} + {(6)}^{2}}}{8}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 6^{2}}}{8}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 36}}{8}$

Langkah 8.3.1.3

Tambahkan $64$ dan $36$ .

$\frac{\sqrt{100}}{8}$

Langkah 8.3.1.4

Tulis kembali $100$ sebagai $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{8}$

Langkah 8.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{10}{8}$

Langkah 8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$\frac{2 (5)}{8}$

Langkah 8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Langkah 8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Langkah 8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5}{4}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{6^{2}}{10}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{36}{10}$

Langkah 9.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $36$ .

$\frac{2 (18)}{10}$

Langkah 9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 5}$

Langkah 9.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 5}$

Langkah 9.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{18}{5}$

Langkah 10

Asimtot-asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ karena hiperbola ini membuka ke atas dan ke bawah.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Langkah 11

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Langkah 11.2

Sederhanakan $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 1) + 2$

Langkah 11.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Langkah 11.2.1.3

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Langkah 11.2.1.4

Kalikan $\frac{4}{3}$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} + 2$

Langkah 11.2.2

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 11.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Langkah 11.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 + 2 \cdot 3}{3}$

Langkah 11.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 + 6}{3}$

Langkah 11.2.5.2

Tambahkan $4$ dan $6$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}$

Langkah 12

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Langkah 12.2

Sederhanakan $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 1) + 2$

Langkah 12.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Langkah 12.2.1.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Langkah 12.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} + 2$

Langkah 12.2.1.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + 2$

Langkah 12.2.2

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 12.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Langkah 12.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}$

Langkah 12.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 4 + 6}{3}$

Langkah 12.2.5.2

Tambahkan $- 4$ dan $6$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}, y = - \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(- 1, 2)$

Verteks: $(- 1, 10), (- 1, - 6)$

Titik api: $(- 1, 12), (- 1, - 8)$

Eksentrisitas: $\frac{5}{4}$

Parameter Fokus: $\frac{18}{5}$

Asimtot: $y = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

Langkah 15