Prakalkulus Contoh

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{121} + \frac{{(y - 8)}^{2}}{196} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{121} + \frac{{(y - 8)}^{2}}{196} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 14$

$b = 11$

$k = 8$

$h = - 4$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(- 4, 8)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(14)}^{2} - {(11)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $14$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{196 - {(11)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $11$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{196 - 1 \cdot 121}$

Langkah 5.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $121$ .

$\sqrt{196 - 121}$

Langkah 5.3.4

Kurangi $121$ dengan $196$ .

$\sqrt{75}$

Langkah 5.3.5

Tulis kembali $75$ sebagai $5^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Faktorkan $25$ dari $75$ .

$\sqrt{25 (3)}$

Langkah 5.3.5.2

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Langkah 5.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$5 \sqrt{3}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(- 4, 8 + 14)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(- 4, 22)$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(- 4, 8 - (14))$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(- 4, - 6)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(- 4, 22)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 4, 22)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 6)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(- 4, 8 + 5 \sqrt{3})$

Langkah 7.3

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(- 4, 8 - (5 \sqrt{3}))$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

$(- 4, 8 - 5 \sqrt{3})$

Langkah 7.6

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(- 4, 8 + 5 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 4, 8 - 5 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(- 4, 8 + 5 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 4, 8 - 5 \sqrt{3})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(14)}^{2} - {(11)}^{2}}}{14}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $14$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{196 - 11^{2}}}{14}$

Langkah 8.3.2

Naikkan $11$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{196 - 1 \cdot 121}}{14}$

Langkah 8.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $121$ .

$\frac{\sqrt{196 - 121}}{14}$

Langkah 8.3.4

Kurangi $121$ dengan $196$ .

$\frac{\sqrt{75}}{14}$

Langkah 8.3.5

Tulis kembali $75$ sebagai $5^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.5.1

Faktorkan $25$ dari $75$ .

$\frac{\sqrt{25 (3)}}{14}$

Langkah 8.3.5.2

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3}}{14}$

Langkah 8.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{5 \sqrt{3}}{14}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(- 4, 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 4, 22)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(- 4, 8 + 5 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 4, 8 - 5 \sqrt{3})$

Eksentrisitas: $\frac{5 \sqrt{3}}{14}$

Langkah 10