Prakalkulus Contoh

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{9} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{9} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = - 2$

$h = 3$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(3, - 2)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $16$ dan $9$ .

$\sqrt{25}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Langkah 5.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$5$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(3, 2)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(3, - 6)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h, k \pm a)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(3, 2), (3, - 6)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(3, 3)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(3, - 7)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(3, 3), (3, - 7)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

Langkah 8.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Langkah 8.3.3

Tambahkan $16$ dan $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Langkah 8.3.4

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Langkah 8.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{5}{4}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{3^{2}}{5}$

Langkah 9.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{9}{5}$

Langkah 10

Asimtot-asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ karena hiperbola ini membuka ke atas dan ke bawah.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

Langkah 11

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

Langkah 11.2

Sederhanakan $\frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - 3) - 2$

Langkah 11.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Langkah 11.2.1.3

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Langkah 11.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.4.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (- 1)) - 2$

Langkah 11.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 2$

Langkah 11.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{4 x}{3} + 4 \cdot - 1 - 2$

Langkah 11.2.1.5

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3} - 4 - 2$

Langkah 11.2.2

Kurangi $2$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{4 x}{3} - 6$

Langkah 12

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

Langkah 12.2

Sederhanakan $- \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - 3) - 2$

Langkah 12.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Langkah 12.2.1.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Langkah 12.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{4}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot - 3 - 2$

Langkah 12.2.1.4.2

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 (- 1)) - 2$

Langkah 12.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 2$

Langkah 12.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 4 \cdot - 1 - 2$

Langkah 12.2.1.5

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 - 2$

Langkah 12.2.1.6

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + 4 - 2$

Langkah 12.2.2

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + 2$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{4 x}{3} - 6, y = - \frac{4 x}{3} + 2$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(3, - 2)$

Verteks: $(3, 2), (3, - 6)$

Titik api: $(3, 3), (3, - 7)$

Eksentrisitas: $\frac{5}{4}$

Parameter Fokus: $\frac{9}{5}$

Asimtot: $y = \frac{4 x}{3} - 6$ , $y = - \frac{4 x}{3} + 2$

Langkah 15