Prakalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 5$

Langkah 1

Tentukan sifat parabola yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan dalam bentuk verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Selesaikan kuadrat dari $3 x^{2} - 2 x - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 3$

$b = - 2$

$c = - 5$

Langkah 1.1.1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.1.1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (3)}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 1}{3}$

Langkah 1.1.1.3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$d = - \frac{1}{3}$

Langkah 1.1.1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Langkah 1.1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$e = - 5 - \frac{4}{4 \cdot 3}$

Langkah 1.1.1.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$e = - 5 - \frac{4}{12}$

Langkah 1.1.1.4.2.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.2.1.3.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$e = - 5 - \frac{4 (1)}{12}$

Langkah 1.1.1.4.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.2.1.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Langkah 1.1.1.4.2.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Langkah 1.1.1.4.2.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e = - 5 - \frac{1}{3}$

Langkah 1.1.1.4.2.2

Untuk menuliskan $- 5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$e = - 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Langkah 1.1.1.4.2.3

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{- 5 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Langkah 1.1.1.4.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e = \frac{- 5 \cdot 3 - 1}{3}$

Langkah 1.1.1.4.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.2.5.1

Kalikan $- 5$ dengan $3$ .

$e = \frac{- 15 - 1}{3}$

Langkah 1.1.1.4.2.5.2

Kurangi $1$ dengan $- 15$ .

$e = \frac{- 16}{3}$

Langkah 1.1.1.4.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e = - \frac{16}{3}$

Langkah 1.1.1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $3 {(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{16}{3}$ .

$3 {(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{16}{3}$

Langkah 1.1.2

Aturlah $y$ sama dengan sisi kanan yang baru.

$y = 3 {(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{16}{3}$

Langkah 1.2

Gunakan bentuk directrix, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , untuk menentukan nilai dari $a$ , $h$ , dan $k$ .

$a = 3$

$h = \frac{1}{3}$

$k = - \frac{16}{3}$

Langkah 1.3

Karena nilai $a$ adalah positif, maka parabola membuka ke atas.

Membuka ke Atas

Langkah 1.4

Tentukan verteks $(h, k)$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{16}{3})$

Langkah 1.5

Temukan $p$ , jarak dari verteks ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Hitung jarak dari puncak ke fokus parabola menggunakan rumus berikut.

$\frac{1}{4 a}$

Langkah 1.5.2

Substitusikan nilai $a$ ke dalam rumusnya.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Langkah 1.5.3

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{1}{12}$

Langkah 1.6

Tentukan fokusnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Titik fokus parabola dapat ditentukan dengan menambahkan $p$ ke koordinat y $k$ jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$(h, k + p)$

Langkah 1.6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $p$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(\frac{1}{3}, - \frac{21}{4})$

Langkah 1.7

Tentukan sumbu simetri dengan menemukan garis yang melewati verteks dan titik fokus.

$x = \frac{1}{3}$

Langkah 1.8

Tentukan direktriksnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Garis arah parabola adalah garis datar yang diperoleh dengan mengurangi $p$ dari koordinat y $k$ dari verteks jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$y = k - p$

Langkah 1.8.2

Substitusikan nilai-nilai $p$ dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$y = - \frac{65}{12}$

Langkah 1.9

Gunakan sifat-sifat parabola untuk menganalisis dan gambarkan parabolanya.

Arah: Membuka ke Atas

Verteks: $(\frac{1}{3}, - \frac{16}{3})$

Fokus: $(\frac{1}{3}, - \frac{21}{4})$

Sumbu Simetri: $x = \frac{1}{3}$

Direktriks: $y = - \frac{65}{12}$

Arah: Membuka ke Atas

Verteks: $(\frac{1}{3}, - \frac{16}{3})$

Fokus: $(\frac{1}{3}, - \frac{21}{4})$

Sumbu Simetri: $x = \frac{1}{3}$

Direktriks: $y = - \frac{65}{12}$

Langkah 2

Pilih beberapa nilai $x$ , dan masukkan nilai-nilai-tersebut ke dalam persamaan untuk menemukan nilai $y$ yang sesuai. Nilai-nilai $x$ harus dipilih di sekitar verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 5$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot - 1 - 5$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (- 1) = 3 - 2 \cdot - 1 - 5$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = 3 + 2 - 5$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$f (- 1) = 5 - 5$

Langkah 2.2.2.2

Kurangi $5$ dengan $5$ .

$f (- 1) = 0$

Langkah 2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 2.3

Nilai $y$ pada $x = - 1$ adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 2.4

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 5$

Langkah 2.5

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 - 5$

Langkah 2.5.1.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f (- 2) = 12 - 2 \cdot - 2 - 5$

Langkah 2.5.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$f (- 2) = 12 + 4 - 5$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Tambahkan $12$ dan $4$ .

$f (- 2) = 16 - 5$

Langkah 2.5.2.2

Kurangi $5$ dengan $16$ .

$f (- 2) = 11$

Langkah 2.5.3

Jawaban akhirnya adalah $11$ .

$11$

Langkah 2.6

Nilai $y$ pada $x = - 2$ adalah $11$ .

$y = 11$

Langkah 2.7

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 - 5$

Langkah 2.8

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 5$

Langkah 2.8.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1 - 5$

Langkah 2.8.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (1) = 3 - 2 - 5$

Langkah 2.8.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$f (1) = 1 - 5$

Langkah 2.8.2.2

Kurangi $5$ dengan $1$ .

$f (1) = - 4$

Langkah 2.8.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4$ .

$- 4$

Langkah 2.9

Nilai $y$ pada $x = 1$ adalah $- 4$ .

$y = - 4$

Langkah 2.10

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = 3 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 5$

Langkah 2.11

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (2) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 - 5$

Langkah 2.11.1.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f (2) = 12 - 2 \cdot 2 - 5$

Langkah 2.11.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f (2) = 12 - 4 - 5$

Langkah 2.11.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.2.1

Kurangi $4$ dengan $12$ .

$f (2) = 8 - 5$

Langkah 2.11.2.2

Kurangi $5$ dengan $8$ .

$f (2) = 3$

Langkah 2.11.3

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$3$

Langkah 2.12

Nilai $y$ pada $x = 2$ adalah $3$ .

$y = 3$

Langkah 2.13

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 11 \\ - 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 1 & - 4 \\ 2 & 3 \end{array}$

Langkah 3

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

Arah: Membuka ke Atas

Verteks: $(\frac{1}{3}, - \frac{16}{3})$

Fokus: $(\frac{1}{3}, - \frac{21}{4})$

Sumbu Simetri: $x = \frac{1}{3}$

Direktriks: $y = - \frac{65}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 11 \\ - 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 1 & - 4 \\ 2 & 3 \end{array}$

Langkah 4