Prakalkulus Contoh

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 6$

Langkah 1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - x - 6$

Langkah 2

Tentukan sifat parabola yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali persamaan dalam bentuk verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Selesaikan kuadrat dari $\frac{x^{2}}{2} - x - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = - 6$

Langkah 2.1.1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 2.1.1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Langkah 2.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.1.1.3.2.2

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$d = \frac{- 1}{1}$

Langkah 2.1.1.3.2.3

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$d = - 1$

Langkah 2.1.1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Langkah 2.1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Langkah 2.1.1.4.2.1.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e = - 6 - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Langkah 2.1.1.4.2.1.3

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{2}$

Langkah 2.1.1.4.2.2

Untuk menuliskan $- 6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 2.1.1.4.2.3

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 2.1.1.4.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e = \frac{- 6 \cdot 2 - 1}{2}$

Langkah 2.1.1.4.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.2.5.1

Kalikan $- 6$ dengan $2$ .

$e = \frac{- 12 - 1}{2}$

Langkah 2.1.1.4.2.5.2

Kurangi $1$ dengan $- 12$ .

$e = \frac{- 13}{2}$

Langkah 2.1.1.4.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e = - \frac{13}{2}$

Langkah 2.1.1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

Langkah 2.1.2

Aturlah $y$ sama dengan sisi kanan yang baru.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

Langkah 2.2

Gunakan bentuk directrix, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , untuk menentukan nilai dari $a$ , $h$ , dan $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - \frac{13}{2}$

Langkah 2.3

Karena nilai $a$ adalah positif, maka parabola membuka ke atas.

Membuka ke Atas

Langkah 2.4

Tentukan verteks $(h, k)$ .

$(1, - \frac{13}{2})$

Langkah 2.5

Temukan $p$ , jarak dari verteks ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Hitung jarak dari puncak ke fokus parabola menggunakan rumus berikut.

$\frac{1}{4 a}$

Langkah 2.5.2

Substitusikan nilai $a$ ke dalam rumusnya.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Langkah 2.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Langkah 2.5.3.2

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 2.6

Tentukan fokusnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Titik fokus parabola dapat ditentukan dengan menambahkan $p$ ke koordinat y $k$ jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$(h, k + p)$

Langkah 2.6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $p$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(1, - 6)$

Langkah 2.7

Tentukan sumbu simetri dengan menemukan garis yang melewati verteks dan titik fokus.

$x = 1$

Langkah 2.8

Tentukan direktriksnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Garis arah parabola adalah garis datar yang diperoleh dengan mengurangi $p$ dari koordinat y $k$ dari verteks jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$y = k - p$

Langkah 2.8.2

Substitusikan nilai-nilai $p$ dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$y = - 7$

Langkah 2.9

Gunakan sifat-sifat parabola untuk menganalisis dan gambarkan parabolanya.

Arah: Membuka ke Atas

Verteks: $(1, - \frac{13}{2})$

Fokus: $(1, - 6)$

Sumbu Simetri: $x = 1$

Direktriks: $y = - 7$

Arah: Membuka ke Atas

Verteks: $(1, - \frac{13}{2})$

Fokus: $(1, - 6)$

Sumbu Simetri: $x = 1$

Direktriks: $y = - 7$

Langkah 3

Pilih beberapa nilai $x$ , dan masukkan nilai-nilai-tersebut ke dalam persamaan untuk menemukan nilai $y$ yang sesuai. Nilai-nilai $x$ harus dipilih di sekitar verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - 6$

Langkah 3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Tulis $- (0)$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} - 6$

Langkah 3.2.1.2

Kalikan $\frac{- (0)}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Langkah 3.2.1.3

Kalikan $\frac{- (0)}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} - 6$

Langkah 3.2.1.4

Tulis $- 6$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Langkah 3.2.1.5

Kalikan $\frac{- 6}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 3.2.1.6

Kalikan $\frac{- 6}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.2.3.2

Kalikan $- (0) \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.2.3.2.2

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.2.3.3

Kalikan $- 6$ dengan $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 12}{2}$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 12}{2}$

Langkah 3.2.4.2

Kurangi $12$ dengan $0$ .

$f (0) = \frac{- 12}{2}$

Langkah 3.2.4.3

Bagilah $- 12$ dengan $2$ .

$f (0) = - 6$

Langkah 3.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- 6$ .

$- 6$

Langkah 3.3

Nilai $y$ pada $x = 0$ adalah $- 6$ .

$y = - 6$

Langkah 3.4

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - (- 1) - 6$

Langkah 3.5

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Tulis $- (- 1)$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} - 6$

Langkah 3.5.1.2

Kalikan $\frac{- (- 1)}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Langkah 3.5.1.3

Kalikan $\frac{- (- 1)}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} - 6$

Langkah 3.5.1.4

Tulis $- 6$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Langkah 3.5.1.5

Kalikan $\frac{- 6}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 3.5.1.6

Kalikan $\frac{- 6}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.5.3.2

Kalikan $- (- 1) \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.5.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.5.3.3

Kalikan $- 6$ dengan $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 12}{2}$

Langkah 3.5.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f (- 1) = \frac{3 - 12}{2}$

Langkah 3.5.4.2

Kurangi $12$ dengan $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 9}{2}$

Langkah 3.5.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- 1) = - \frac{9}{2}$

Langkah 3.5.5

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Langkah 3.6

Nilai $y$ pada $x = - 1$ adalah $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Langkah 3.7

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} - (2) - 6$

Langkah 3.8

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.1

Tulis $- (2)$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} - 6$

Langkah 3.8.1.2

Kalikan $\frac{- (2)}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Langkah 3.8.1.3

Kalikan $\frac{- (2)}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 6$

Langkah 3.8.1.4

Tulis $- 6$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Langkah 3.8.1.5

Kalikan $\frac{- 6}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 3.8.1.6

Kalikan $\frac{- 6}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.8.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.8.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.8.3.2

Kalikan $- (2) \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.8.3.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.8.3.3

Kalikan $- 6$ dengan $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 12}{2}$

Langkah 3.8.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.4.1

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$f (2) = \frac{0 - 12}{2}$

Langkah 3.8.4.2

Kurangi $12$ dengan $0$ .

$f (2) = \frac{- 12}{2}$

Langkah 3.8.4.3

Bagilah $- 12$ dengan $2$ .

$f (2) = - 6$

Langkah 3.8.5

Jawaban akhirnya adalah $- 6$ .

$- 6$

Langkah 3.9

Nilai $y$ pada $x = 2$ adalah $- 6$ .

$y = - 6$

Langkah 3.10

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - (4) - 6$

Langkah 3.11

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1.1

Tulis $- (4)$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} - 6$

Langkah 3.11.1.2

Kalikan $\frac{- (4)}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Langkah 3.11.1.3

Kalikan $\frac{- (4)}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} - 6$

Langkah 3.11.1.4

Tulis $- 6$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Langkah 3.11.1.5

Kalikan $\frac{- 6}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 3.11.1.6

Kalikan $\frac{- 6}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.11.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2} - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.11.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.11.3.2

Kalikan $- (4) \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.11.3.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.11.3.3

Kalikan $- 6$ dengan $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 12}{2}$

Langkah 3.11.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.4.1

Kurangi $8$ dengan $16$ .

$f (4) = \frac{8 - 12}{2}$

Langkah 3.11.4.2

Kurangi $12$ dengan $8$ .

$f (4) = \frac{- 4}{2}$

Langkah 3.11.4.3

Bagilah $- 4$ dengan $2$ .

$f (4) = - 2$

Langkah 3.11.5

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$- 2$

Langkah 3.12

Nilai $y$ pada $x = 4$ adalah $- 2$ .

$y = - 2$

Langkah 3.13

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

Langkah 4

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

Arah: Membuka ke Atas

Verteks: $(1, - \frac{13}{2})$

Fokus: $(1, - 6)$

Sumbu Simetri: $x = 1$

Direktriks: $y = - 7$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

Langkah 5