Prakalkulus Contoh

$y^{2} - 4 x + 4 y - 4 = 0$

Langkah 1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 x + 4 y - 4 = - y^{2}$

Langkah 1.2

Kurangkan $4 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 x - 4 = - y^{2} - 4 y$

Langkah 1.3

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$- 4 x = - y^{2} - 4 y + 4$

Langkah 2

Bagi setiap suku pada $- 4 x = - y^{2} - 4 y + 4$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagilah setiap suku di $- 4 x = - y^{2} - 4 y + 4$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Langkah 2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Langkah 2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Langkah 2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Langkah 2.3.1.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + y + \frac{4}{- 4}$

Langkah 2.3.1.3

Bagilah $4$ dengan $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + y - 1$

Langkah 3

Tentukan sifat parabola yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan dalam bentuk verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Selesaikan kuadrat dari $\frac{y^{2}}{4} + y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = 1$

$c = - 1$

Langkah 3.1.1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 3.1.1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Langkah 3.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Langkah 3.1.1.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$d = \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Langkah 3.1.1.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$d = \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 3.1.1.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 3.1.1.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.1.1.3.2.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$d = 1 \cdot 2$

Langkah 3.1.1.3.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$d = 2$

Langkah 3.1.1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{1^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Langkah 3.1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.4.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$e = - 1 - \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Langkah 3.1.1.4.2.1.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$e = - 1 - \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Langkah 3.1.1.4.2.1.3

Bagilah $4$ dengan $4$ .

$e = - 1 - \frac{1}{1}$

Langkah 3.1.1.4.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.4.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e = - 1 - \frac{1}{1}$

Langkah 3.1.1.4.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e = - 1 - 1 \cdot 1$

Langkah 3.1.1.4.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e = - 1 - 1$

Langkah 3.1.1.4.2.2

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$e = - 2$

Langkah 3.1.1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $\frac{1}{4} {(y + 2)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{4} {(y + 2)}^{2} - 2$

Langkah 3.1.2

Aturlah $x$ sama dengan sisi kanan yang baru.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 2)}^{2} - 2$

Langkah 3.2

Gunakan bentuk directrix, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , untuk menentukan nilai dari $a$ , $h$ , dan $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 2$

$k = - 2$

Langkah 3.3

Karena nilai $a$ adalah positif, maka parabola membuka ke kanan.

Membuka ke Kanan

Langkah 3.4

Tentukan verteks $(h, k)$ .

$(- 2, - 2)$

Langkah 3.5

Temukan $p$ , jarak dari verteks ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Hitung jarak dari puncak ke fokus parabola menggunakan rumus berikut.

$\frac{1}{4 a}$

Langkah 3.5.2

Substitusikan nilai $a$ ke dalam rumusnya.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Langkah 3.5.3.2

Sederhanakan dengan membagi bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1

Bagilah $4$ dengan $4$ .

$\frac{1}{1}$

Langkah 3.5.3.2.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$1$

Langkah 3.6

Tentukan fokusnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Titik fokus parabola dapat ditentukan dengan menambahkan $p$ ke koordinat x $h$ jika parabola membuka ke kiri atau ke kanan.

$(h + p, k)$

Langkah 3.6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $p$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 1, - 2)$

Langkah 3.7

Tentukan sumbu simetri dengan menemukan garis yang melewati verteks dan titik fokus.

$y = - 2$

Langkah 3.8

Tentukan direktriksnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Garis arah parabola adalah garis tegak yang diperoleh dengan mengurangi $p$ dari koordinat x $h$ dari verteks jika parabola membuka ke kiri atau ke kanan.

$x = h - p$

Langkah 3.8.2

Substitusikan nilai-nilai $p$ dan $h$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$x = - 3$

Langkah 3.9

Gunakan sifat-sifat parabola untuk menganalisis dan gambarkan parabolanya.

Arah: Membuka ke Kanan

Verteks: $(- 2, - 2)$

Fokus: $(- 1, - 2)$

Sumbu Simetri: $y = - 2$

Direktriks: $x = - 3$

Arah: Membuka ke Kanan

Verteks: $(- 2, - 2)$

Fokus: $(- 1, - 2)$

Sumbu Simetri: $y = - 2$

Direktriks: $x = - 3$

Langkah 4

Pilih beberapa nilai $x$ , dan masukkan nilai-nilai-tersebut ke dalam persamaan untuk menemukan nilai $y$ yang sesuai. Nilai-nilai $x$ harus dipilih di sekitar verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai $x$ $- 1$ ke dalam $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x + 2}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 1, 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = - 2 + 2 \sqrt{(- 1) + 2}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

Langkah 4.1.2.1.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 2 \cdot 1$

Langkah 4.1.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 2$

Langkah 4.1.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$f (- 1) = 0$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 4.1.3

Konversikan $0$ ke desimal.

$= 0$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai $x$ $- 1$ ke dalam $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x + 2}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 1, - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = - 2 - 2 \sqrt{(- 1) + 2}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$f (- 1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

Langkah 4.2.2.1.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 2 \cdot 1$

Langkah 4.2.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 2$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $2$ dengan $- 2$ .

$f (- 1) = - 4$

Langkah 4.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4$ .

$y = - 4$

Langkah 4.2.3

Konversikan $- 4$ ke desimal.

$= - 4$

Langkah 4.3

Substitusikan nilai $x$ $0$ ke dalam $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x + 2}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(0, 0.82842712)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = - 2 + 2 \sqrt{(0) + 2}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$f (0) = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Langkah 4.3.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Langkah 4.3.3

Konversikan $- 2 + 2 \sqrt{2}$ ke desimal.

$= 0.82842712$

Langkah 4.4

Substitusikan nilai $x$ $0$ ke dalam $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x + 2}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(0, - 4.82842712)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = - 2 - 2 \sqrt{(0) + 2}$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$f (0) = - 2 - 2 \sqrt{2}$

Langkah 4.4.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 2 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 - 2 \sqrt{2}$

Langkah 4.4.3

Konversikan $- 2 - 2 \sqrt{2}$ ke desimal.

$= - 4.82842712$

Langkah 4.5

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 0.83 \\ 0 & - 4.83 \end{array}$

Langkah 5

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

Arah: Membuka ke Kanan

Verteks: $(- 2, - 2)$

Fokus: $(- 1, - 2)$

Sumbu Simetri: $y = - 2$

Direktriks: $x = - 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 0.83 \\ 0 & - 4.83 \end{array}$

Langkah 6