Prakalkulus Contoh

$x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y + 4 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $x^{2} + 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{4}{1}$

Langkah 1.2.3.2.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$d = 4$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $64$ dengan $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$e = 0 - 16$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $16$ dengan $0$ .

$e = - 16$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks ${(x + 4)}^{2} - 16$ .

${(x + 4)}^{2} - 16$

Langkah 1.3

Substitusikan ${(x + 4)}^{2} - 16$ untuk $x^{2} + 8 x$ dalam persamaan $x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$ .

${(x + 4)}^{2} - 16 - 3 y^{2} - 6 y = - 4$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 16$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $16$ ke kedua sisinya.

${(x + 4)}^{2} - 3 y^{2} - 6 y = - 4 + 16$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $- 3 y^{2} - 6 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 3$

$b = - 6$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 3}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 3}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (- 3)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 3}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 3}{- 3}$

Langkah 1.5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{- 3}{- 3}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$d = 1$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 3}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 3}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 3$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 12}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $36$ dengan $- 12$ .

$e = 0 - - 3$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$e = 0 + 3$

Langkah 1.5.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$e = 3$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$ .

$- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$

Langkah 1.6

Substitusikan $- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$ untuk $- 3 y^{2} - 6 y$ dalam persamaan $x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$ .

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} + 3 = - 4 + 16$

Langkah 1.7

Pindahkan $3$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $3$ ke kedua sisinya.

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = - 4 + 16 - 3$

Langkah 1.8

Sederhanakan $- 4 + 16 - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $- 4$ dan $16$ .

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = 12 - 3$

Langkah 1.8.2

Kurangi $3$ dengan $12$ .

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = 9$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $9$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{3 {(y + 1)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 3$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = - 4$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(- 4, - 1)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{9 + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{9 + 3^{1}}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{9 + 3}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $9$ dan $3$ .

$\sqrt{12}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\sqrt{4 (3)}$

Langkah 5.3.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Langkah 5.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$2 \sqrt{3}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 1, - 1)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 7, - 1)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(- 1, - 1), (- 7, - 1)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1), (- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}}{3}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + {\sqrt{3}}^{2}}}{3}$

Langkah 8.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

Langkah 8.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

Langkah 8.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Langkah 8.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Langkah 8.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{9 + 3^{1}}}{3}$

Langkah 8.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{9 + 3}}{3}$

Langkah 8.3.3

Tambahkan $9$ dan $3$ .

$\frac{\sqrt{12}}{3}$

Langkah 8.3.4

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{3}$

Langkah 8.3.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{3}$

Langkah 8.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 9.3

Hapus faktor persekutuan dari ${\sqrt{3}}^{2}$ dan $\sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Faktorkan $\sqrt{3}$ dari ${\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 9.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Faktorkan $\sqrt{3}$ dari $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot 2}$

Langkah 9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot 2}$

Langkah 9.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 10

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Langkah 11

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Langkah 11.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x + 4) - 1$

Langkah 11.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Langkah 11.2.3

Gabungkan $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dan $x$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Langkah 11.2.4

Gabungkan $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dan $4$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{3} - 1$

Langkah 11.2.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Langkah 12

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Langkah 12.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x + 4) - 1$

Langkah 12.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Langkah 12.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Langkah 12.2.4

Kalikan $- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Langkah 12.2.4.2

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Langkah 12.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(- 4, - 1)$

Verteks: $(- 1, - 1), (- 7, - 1)$

Titik api: $(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1), (- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

Eksentrisitas: $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Parameter Fokus: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Asimtot: $y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Langkah 15