Prakalkulus Contoh

$4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y - 9 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $9$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y = 9$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $4 x^{2} - 16 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 8}{4}$

Langkah 1.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 2}{1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$d = - 2$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $- 16$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $256$ dengan $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$e = 0 - 16$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $16$ dengan $0$ .

$e = - 16$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Langkah 1.3

Substitusikan $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ untuk $4 x^{2} - 16 x$ dalam persamaan $4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y = 9$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 - y^{2} - 6 y = 9$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 16$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $16$ ke kedua sisinya.

$4 {(x - 2)}^{2} - y^{2} - 6 y = 9 + 16$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $- y^{2} - 6 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Langkah 1.5.3.2.2

Tulis kembali $- 1 \cdot - 3$ sebagai $- - 3$ .

$d = - - 3$

Langkah 1.5.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$d = 3$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $36$ dengan $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Langkah 1.5.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $9$ .

$e = 9$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- {(y + 3)}^{2} + 9$ .

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

Langkah 1.6

Substitusikan $- {(y + 3)}^{2} + 9$ untuk $- y^{2} - 6 y$ dalam persamaan $4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y = 9$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = 9 + 16$

Langkah 1.7

Pindahkan $9$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $9$ ke kedua sisinya.

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9 + 16 - 9$

Langkah 1.8

Sederhanakan $9 + 16 - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $9$ dan $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 25 - 9$

Langkah 1.8.2

Kurangi $9$ dengan $25$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 16$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $16$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 2$

$b = 4$

$k = - 3$

$h = 2$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(2, - 3)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{4 + {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{4 + 16}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $4$ dan $16$ .

$\sqrt{20}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $20$ sebagai $2^{2} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Langkah 5.3.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Langkah 5.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$2 \sqrt{5}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(4, - 3)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(0, - 3)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(4, - 3), (0, - 3)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(2 + 2 \sqrt{5}, - 3)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(2 - 2 \sqrt{5}, - 3)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(2 + 2 \sqrt{5}, - 3), (2 - 2 \sqrt{5}, - 3)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}}{2}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4^{2}}}{2}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 16}}{2}$

Langkah 8.3.1.3

Tambahkan $4$ dan $16$ .

$\frac{\sqrt{20}}{2}$

Langkah 8.3.1.4

Tulis kembali $20$ sebagai $2^{2} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{2}$

Langkah 8.3.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2}$

Langkah 8.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Langkah 8.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Langkah 8.3.2.2

Bagilah $\sqrt{5}$ dengan $1$ .

$\sqrt{5}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{4^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{16}{2 \sqrt{5}}$

Langkah 9.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Langkah 9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (\sqrt{5})}$

Langkah 9.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Langkah 9.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{8}{\sqrt{5}}$

Langkah 9.3.3

Kalikan $\frac{8}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Langkah 9.3.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.1

Kalikan $\frac{8}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Langkah 9.3.4.2

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Langkah 9.3.4.3

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Langkah 9.3.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Langkah 9.3.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Langkah 9.3.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 9.3.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 9.3.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Langkah 9.3.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Langkah 10

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm 2 \cdot (x - (2)) - 3$

Langkah 11

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 2 \cdot (x - (2)) - 3$

Langkah 11.2

Sederhanakan $2 \cdot (x - (2)) - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = 2 \cdot (x - 2) - 3$

Langkah 11.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = 2 x + 2 \cdot - 2 - 3$

Langkah 11.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$y = 2 x - 4 - 3$

Langkah 11.2.2

Kurangi $3$ dengan $- 4$ .

$y = 2 x - 7$

Langkah 12

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - 2 \cdot (x - (2)) - 3$

Langkah 12.2

Sederhanakan $- 2 \cdot (x - (2)) - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = - 2 \cdot (x - 2) - 3$

Langkah 12.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - 2 x - 2 \cdot - 2 - 3$

Langkah 12.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$y = - 2 x + 4 - 3$

Langkah 12.2.2

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$y = - 2 x + 1$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = 2 x - 7, y = - 2 x + 1$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(2, - 3)$

Verteks: $(4, - 3), (0, - 3)$

Titik api: $(2 + 2 \sqrt{5}, - 3), (2 - 2 \sqrt{5}, - 3)$

Eksentrisitas: $\sqrt{5}$

Parameter Fokus: $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Asimtot: $y = 2 x - 7$ , $y = - 2 x + 1$

Langkah 15