Prakalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = \sqrt{6}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali ${\sqrt{6}}^{2}$ sebagai $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{6}$ sebagai $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{6^{1} + {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{6 + {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{6 + 16}$

Langkah 5.3.2.2

Tambahkan $6$ dan $16$ .

$\sqrt{22}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(\sqrt{6}, 0)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- \sqrt{6}, 0)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(\sqrt{6}, 0), (- \sqrt{6}, 0)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(\sqrt{22}, 0)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- \sqrt{22}, 0)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(\sqrt{22}, 0), (- \sqrt{22}, 0)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(4)}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Tulis kembali ${\sqrt{6}}^{2}$ sebagai $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{6}$ sebagai $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{6^{1} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.1.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{6 + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{6 + 16}}{\sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.3

Tambahkan $6$ dan $16$ .

$\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{6}}$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\sqrt{22}$ dan $\sqrt{6}$ ke dalam akar tunggal.

$\sqrt{\frac{22}{6}}$

Langkah 8.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $22$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $22$ .

$\sqrt{\frac{2 (11)}{6}}$

Langkah 8.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 3}}$

Langkah 8.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 3}}$

Langkah 8.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{\frac{11}{3}}$

Langkah 8.3.4

Tulis kembali $\sqrt{\frac{11}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

Langkah 8.3.5

Kalikan $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 8.3.6

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.6.1

Kalikan $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.6.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.6.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 8.3.6.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 8.3.6.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 8.3.6.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.6.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 8.3.6.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 8.3.6.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 8.3.6.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.6.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 8.3.6.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 8.3.6.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3}$

Langkah 8.3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.7.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$\frac{\sqrt{11 \cdot 3}}{3}$

Langkah 8.3.7.2

Kalikan $11$ dengan $3$ .

$\frac{\sqrt{33}}{3}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{4^{2}}{\sqrt{22}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{16}{\sqrt{22}}$

Langkah 9.3.2

Kalikan $\frac{16}{\sqrt{22}}$ dengan $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$ .

$\frac{16}{\sqrt{22}} \cdot \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$

Langkah 9.3.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Kalikan $\frac{16}{\sqrt{22}}$ dengan $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{\sqrt{22} \sqrt{22}}$

Langkah 9.3.3.2

Naikkan $\sqrt{22}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1} \sqrt{22}}$

Langkah 9.3.3.3

Naikkan $\sqrt{22}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1} {\sqrt{22}}^{1}}$

Langkah 9.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1 + 1}}$

Langkah 9.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{2}}$

Langkah 9.3.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{22}}^{2}$ sebagai $22$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{22}$ sebagai $22^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 9.3.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 9.3.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{1}}$

Langkah 9.3.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{16 \sqrt{22}}{22}$

Langkah 9.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $22$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $16 \sqrt{22}$ .

$\frac{2 (8 \sqrt{22})}{22}$

Langkah 9.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $22$ .

$\frac{2 (8 \sqrt{22})}{2 (11)}$

Langkah 9.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (8 \sqrt{22})}{2 \cdot 11}$

Langkah 9.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{8 \sqrt{22}}{11}$

Langkah 10

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3} x + 0$

Langkah 11

Sederhanakan $\frac{2 \sqrt{6}}{3} x + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tambahkan $\frac{2 \sqrt{6}}{3} x$ dan $0$ .

$y = \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$

Langkah 11.2

Gabungkan $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ dan $x$ .

$y = \frac{2 \sqrt{6} x}{3}$

Langkah 12

Sederhanakan $- \frac{2 \sqrt{6}}{3} x + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tambahkan $- \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$ dan $0$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$

Langkah 12.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

$y = - \frac{x (2 \sqrt{6})}{3}$

Langkah 12.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{2 x \sqrt{6}}{3}$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{2 \sqrt{6} x}{3}, y = - \frac{2 x \sqrt{6}}{3}$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(0, 0)$

Verteks: $(\sqrt{6}, 0), (- \sqrt{6}, 0)$

Titik api: $(\sqrt{22}, 0), (- \sqrt{22}, 0)$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{33}}{3}$

Parameter Fokus: $\frac{8 \sqrt{22}}{11}$

Asimtot: $y = \frac{2 \sqrt{6} x}{3}$ , $y = - \frac{2 x \sqrt{6}}{3}$

Langkah 15