Prakalkulus Contoh

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{144} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{144} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 4$

$b = 12$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(12)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{16 + {(12)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{16 + 144}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $16$ dan $144$ .

$\sqrt{160}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $160$ sebagai $4^{2} \cdot 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan $16$ dari $160$ .

$\sqrt{16 (10)}$

Langkah 5.3.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 10}$

Langkah 5.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$4 \sqrt{10}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(0, 4)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(0, - 4)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h, k \pm a)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(0, 4), (0, - 4)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(0, 4 \sqrt{10})$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(0, - 4 \sqrt{10})$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(0, 4 \sqrt{10}), (0, - 4 \sqrt{10})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(12)}^{2}}}{4}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 12^{2}}}{4}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 144}}{4}$

Langkah 8.3.1.3

Tambahkan $16$ dan $144$ .

$\frac{\sqrt{160}}{4}$

Langkah 8.3.1.4

Tulis kembali $160$ sebagai $4^{2} \cdot 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.1

Faktorkan $16$ dari $160$ .

$\frac{\sqrt{16 (10)}}{4}$

Langkah 8.3.1.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 10}}{4}$

Langkah 8.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{4 \sqrt{10}}{4}$

Langkah 8.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \sqrt{10}}{4}$

Langkah 8.3.2.2

Bagilah $\sqrt{10}$ dengan $1$ .

$\sqrt{10}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{12^{2}}{4 \sqrt{10}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{144}{4 \sqrt{10}}$

Langkah 9.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $144$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $144$ .

$\frac{4 \cdot 36}{4 \sqrt{10}}$

Langkah 9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 \sqrt{10}$ .

$\frac{4 \cdot 36}{4 (\sqrt{10})}$

Langkah 9.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 36}{4 \sqrt{10}}$

Langkah 9.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{36}{\sqrt{10}}$

Langkah 9.3.3

Kalikan $\frac{36}{\sqrt{10}}$ dengan $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{36}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Langkah 9.3.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.1

Kalikan $\frac{36}{\sqrt{10}}$ dengan $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Langkah 9.3.4.2

Naikkan $\sqrt{10}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Langkah 9.3.4.3

Naikkan $\sqrt{10}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Langkah 9.3.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{36 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Langkah 9.3.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Langkah 9.3.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{10}}^{2}$ sebagai $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{10}$ sebagai $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 9.3.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 9.3.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{36 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{36 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Langkah 9.3.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{36 \sqrt{10}}{10}$

Langkah 9.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.5.1

Faktorkan $2$ dari $36 \sqrt{10}$ .

$\frac{2 (18 \sqrt{10})}{10}$

Langkah 9.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$\frac{2 (18 \sqrt{10})}{2 (5)}$

Langkah 9.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (18 \sqrt{10})}{2 \cdot 5}$

Langkah 9.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{18 \sqrt{10}}{5}$

Langkah 10

Asimtot-asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ karena hiperbola ini membuka ke atas dan ke bawah.

$y = \pm \frac{1}{3} x + 0$

Langkah 11

Sederhanakan $\frac{1}{3} x + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tambahkan $\frac{1}{3} x$ dan $0$ .

$y = \frac{1}{3} x$

Langkah 11.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x$ .

$y = \frac{x}{3}$

Langkah 12

Sederhanakan $- \frac{1}{3} x + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tambahkan $- \frac{1}{3} x$ dan $0$ .

$y = - \frac{1}{3} x$

Langkah 12.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3}$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{x}{3}, y = - \frac{x}{3}$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(0, 0)$

Verteks: $(0, 4), (0, - 4)$

Titik api: $(0, 4 \sqrt{10}), (0, - 4 \sqrt{10})$

Eksentrisitas: $\sqrt{10}$

Parameter Fokus: $\frac{18 \sqrt{10}}{5}$

Asimtot: $y = \frac{x}{3}$ , $y = - \frac{x}{3}$

Langkah 15