Prakalkulus Contoh

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{4} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{4} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 4$

$b = 2$

$k = 3$

$h = - 1$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(- 1, 3)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{16 + {(2)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{16 + 4}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $16$ dan $4$ .

$\sqrt{20}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $20$ sebagai $2^{2} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Langkah 5.3.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Langkah 5.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$2 \sqrt{5}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 1, 7)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 1, - 1)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h, k \pm a)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(- 1, 7), (- 1, - 1)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 1, 3 + 2 \sqrt{5})$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 1, 3 - 2 \sqrt{5})$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(- 1, 3 + 2 \sqrt{5}), (- 1, 3 - 2 \sqrt{5})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}}{4}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 2^{2}}}{4}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4}}{4}$

Langkah 8.3.1.3

Tambahkan $16$ dan $4$ .

$\frac{\sqrt{20}}{4}$

Langkah 8.3.1.4

Tulis kembali $20$ sebagai $2^{2} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{4}$

Langkah 8.3.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{4}$

Langkah 8.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{2 \sqrt{5}}{4}$

Langkah 8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (\sqrt{5})}{4}$

Langkah 8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Langkah 8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Langkah 8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{2^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $2^{2}$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Langkah 9.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{5})}$

Langkah 9.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Langkah 9.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

Langkah 9.3.2

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Langkah 9.3.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Langkah 9.3.3.2

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Langkah 9.3.3.3

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Langkah 9.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Langkah 9.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Langkah 9.3.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 9.3.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 9.3.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Langkah 9.3.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Langkah 10

Asimtot-asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ karena hiperbola ini membuka ke atas dan ke bawah.

$y = \pm 2 \cdot (x - (- 1)) + 3$

Langkah 11

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 2 \cdot (x - (- 1)) + 3$

Langkah 11.2

Sederhanakan $2 \cdot (x - (- 1)) + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = 2 \cdot (x + 1) + 3$

Langkah 11.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = 2 x + 2 \cdot 1 + 3$

Langkah 11.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = 2 x + 2 + 3$

Langkah 11.2.2

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$y = 2 x + 5$

Langkah 12

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - 2 \cdot (x - (- 1)) + 3$

Langkah 12.2

Sederhanakan $- 2 \cdot (x - (- 1)) + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = - 2 \cdot (x + 1) + 3$

Langkah 12.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - 2 x - 2 \cdot 1 + 3$

Langkah 12.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$y = - 2 x - 2 + 3$

Langkah 12.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$y = - 2 x + 1$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = 2 x + 5, y = - 2 x + 1$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(- 1, 3)$

Verteks: $(- 1, 7), (- 1, - 1)$

Titik api: $(- 1, 3 + 2 \sqrt{5}), (- 1, 3 - 2 \sqrt{5})$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Parameter Fokus: $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Asimtot: $y = 2 x + 5$ , $y = - 2 x + 1$

Langkah 15